Limite de Fonctions d’une Variable Réelle
Résumé :
Dans cette leçon, nous examinons en profondeur la définition formelle de la limite des fonctions d’une variable réelle et, à partir de celle-ci, nous démontrons les principales propriétés qui mènent à l’algèbre des limites.
Objectifs d’Apprentissage :
À la fin de cette leçon, l’étudiant sera capable de :
- Rappeler la définition de la limite des fonctions d’une variable réelle.
- Démontrer les propriétés qui mènent à l’algèbre des limites à travers des déductions \epsilon-\delta.
- Calculer des limites de fonctions d’une variable réelle en utilisant l’algèbre des limites et ses propriétés.
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
La notion intuitive de limite d’une fonction à partir d’une approche graphique
La Définition Formelle de Limite
Propriétés des Limites
Si la limite existe, alors elle est unique
Algèbre des Limites
Calcul de limites simples
Introduction
Quelle est la différence entre l’étude de l’algèbre et de la géométrie par rapport à l’étude de l’analyse ? La réponse à cette question nous est donnée par le concept de limite. Cet article examine donc la limite et sa définition.
Le mot « limite » est généralement associé à une sorte de frontière, comme la frontière d’un intervalle avec des bornes a et b (quelle que soit sa nature).
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
ou bien avec le présent, que l’on peut considérer comme la frontière entre le passé et le futur. De manière plus ou moins similaire, l’idée de limite introduit la compréhension mathématique de cette idée intuitive de s’approcher asymptotiquement d’un certain point.
La notion intuitive de limite d’une fonction à partir d’une approche graphique
Pour commencer à visualiser l’idée de limite, il est pertinent de représenter graphiquement une fonction et de se demander ce qui arrivera à f(x) lorsque x s’approchera de x_0 autant que souhaité.
Si x est proche de x_0, alors il existera un intervalle ouvert de rayon \delta et de centre x_0 tel que x sera contenu dans cet intervalle. Nous pouvons le représenter de trois manières différentes :
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
ou bien x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
Dans notre contexte, ce sont trois manières de dire la même chose ; cependant, la dernière, qui se lit comme « x est contenu dans la boule ouverte de centre x_0 et de rayon \delta« , serait plus appropriée pour un cours de topologie, où ce « thème de la proximité » serait approfondi.
Si cela se produit, alors nous observerons qu’il existera un autre intervalle ouvert de centre l et de rayon \epsilon tel que f(x) sera contenu dans cet intervalle, c’est-à-dire : |f(x) - l|\lt \epsilon.
C’est ainsi que naît l’idée de base du concept mathématique de limite, du fait qu’elle existera lorsque : si 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, alors |f(x)-l|\lt \epsilon ; et cette valeur l sera la limite de la fonction lorsque x s’approche de x_0 autant que souhaité.
La Définition Formelle de Limite
À partir de la conception intuitive et graphique qui vient d’être présentée, il est possible de commencer à formuler la définition formelle de limite. Nous disons que la limite existe lorsque, quel que soit ce \epsilon (c’est-à-dire, la distance entre f(x) et l), il existera toujours un \delta tel que, si 0 \lt|x-x_0|\lt \delta alors |f(x) - l|\lt \epsilon. Cette idée, qui au début est difficile à saisir et provoque des larmes chez la plupart des étudiants en analyse à travers le monde, peut être synthétisée à travers l’expression suivante :
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
Propriétés des Limites
L’importance d’avoir une définition formelle de la limite réside dans le fait que, à partir de celle-ci, nous pouvons démontrer ses propriétés, tant celles qui paraissent intuitives que celles qui le sont moins.
Avant de continuer, bien que cela ne soit pas strictement nécessaire, il est fortement recommandé de revoir quelques concepts de logique mathématique afin de comprendre plus facilement les démonstrations qui suivent.
Si la limite existe, alors elle est unique
Pour démontrer cette propriété, nous allons utiliser la technique de réduction à l’absurde. Nous commencerons par définir l’ensemble suivant d’hypothèses :
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
À partir de cela, nous pouvons construire la démonstration formelle suivante :
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Présomption |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; Présomption |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; Présomption |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge–Int(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); Monotonie(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; Parce que L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); Utilisation(5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L \lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L^\prime \lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; De(1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; Même procédure que (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-int(8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; Def(10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; MP(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; Contradiction(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
De cette démonstration, nous concluons que s’il existe deux limites, alors elles sont égales et, par conséquent, la limite est unique.
Algèbre des Limites
Avec ce que nous avons vu jusqu’à présent, nous avons examiné l’essentiel de l’idée mathématique de la limite. Mais cela ne suffit pas du tout pour effectuer des calculs avec elle, seul un fou avide de souffrance utiliserait la définition de la limite à cette fin. Pour résoudre ce problème, nous allons maintenant travailler sur des techniques qui nous aideront à commencer à calculer certaines limites.
Soient x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, et soient f et g des fonctions réelles telles que :
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
Alors les propriétés suivantes sont vérifiées :
Limite de la somme et de la différence de fonctions
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
Démonstration :
Considérons l’ensemble des hypothèses \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, alors à partir de cela nous pouvons établir le raisonnement suivant :
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Présomption |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; Déf. |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; De(1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; Présomption |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; Analogique à (3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; de(3,5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; Inégalité Triangulaire : (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; de(6,7) |
| (9) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; Définition |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; de(8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (11) | \gamma:= - \beta; Définition |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; Analogie(10) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; de(11,12) |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; de(10,13) |
Limite du produit de fonctions
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
Cette démonstration est un peu plus difficile que la précédente, mais rien que nous ne puissions résoudre avec quelques astuces drastiques. En utilisant le même ensemble de prémisses \mathcal{H} que la démonstration précédente, nous pouvons construire le raisonnement suivant :
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; Définition |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; Présomption |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; En utilisant (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; Définition |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; Présomption |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; En utilisant (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; Inégalité triangulaire + Cas spécial de \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; De(5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; Inégalité triangulaire + Cas spécial de \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; De(7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; Additionner zéro |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; Factoriser | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; Inégalité triangulaire(9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; De(5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; De(11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; De(1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; De(11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; De(1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
Limite de la fonction constante
La limite de la fonction constante f(x)=c, est la constante c. C’est-à-dire
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
Démonstration
La démonstration de cela est en réalité simple, car il s’agit en fait d’une tautologie. On sait déjà que :
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
Mais il se trouve que 0=|c-c|\lt \epsilon est une tautologie pour tout epsilon positif, de sorte que l’implication est également une tautologie et par conséquent, l’expression \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c est aussi une tautologie.
Limite du quotient de fonctions
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer la règle pour la limite du quotient de deux fonctions. Elle est
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
Où, comme dans les propriétés précédentes, nous supposons que l’ensemble des prémisses est respecté
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
Démonstration
Heureusement, nous n’aurons plus à faire des démonstrations comme celles que nous avons faites auparavant, car nous pouvons désormais utiliser directement ces résultats pour atteindre nos objectifs. Mais avant cela, démontrons d’abord que
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Pour prouver cela, il suffit d’utiliser la règle de la limite d’un produit et la limite d’une fonction constante combinées, il faut simplement faire attention à ce que g(x) ne soit pas nul :
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
Par conséquent : \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Enfin, grâce à la règle de la limite du produit, on obtient :
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
Cela se vérifie tant que M n’est pas nul.
Limite d’une puissance naturelle
Cette propriété nous dit que, si \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, alors il sera vrai que \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). Cela peut être prouvé par induction mathématique.
Démonstration :
- Cas n=1 : (étape initiale)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. Cela conclut l’étape initiale ✅
- Cas n=k : (étape inductive)
En supposant que : \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (Hypothèse d’Induction), nous allons vérifier que par conséquent : \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} .
On a : \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. Cela grâce à la règle de la limite du produit démontrée plus haut.
Ensuite, grâce à l’hypothèse d’induction, on aura \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. Cela conclut l’étape inductive ✅
- Par conséquent : \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
Limite d’une racine n-ième
De manière analogue à la puissance, il sera vrai que \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
Démonstration :
En utilisant la règle de la puissance que nous venons de prouver, on a
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
Par conséquent : \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
Limite de puissances fractionnaires
Avec les pouvoirs réunis des deux dernières démonstrations, nous pouvons conclure avec notre dernière démonstration, qui est : \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). , obtenue grâce à la règle du produit car \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p et \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
Limite \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
Avec cette démonstration, nous clôturons cette série de démonstrations, avec cela, ainsi qu’avec les précédentes, nous pourrons à l’avenir calculer une grande quantité de limites de manière presque intuitive.
Il est facile de prouver que \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, car pour que cela soit vrai, il est nécessaire que
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
Selon la définition de la Limite, pour tous les epsilon, il doit exister au moins un delta pour lequel tout le reste est vérifié ; il suffit donc d’en trouver un pour vérifier que, en effet, la limite est celle indiquée. Mais cela est en fait évident, car il suffit de remarquer que n’importe quel \delta\leq\epsilon satisfait cette condition. Par conséquent : \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
Calcul de limites simples
Grâce à tous ces théorèmes que nous venons d’examiner, on peut calculer une grande variété de limites de manière assez intuitive, comme si nous évaluions simplement la fonction. Voici quelques exemples :
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}