Revue des Transformations de Lorentz

Dans la relativité restreinte, l’idée d’un temps absolu est rejetée. À la place, il est établi que la vitesse de la lumière, c, est constante dans tous les référentiels inertiels. Ce changement, combiné avec le principe de relativité, nous conduit aux Transformations de Lorentz. Ces transformations relient les coordonnées d’un événement observé depuis deux référentiels inertiels distincts. Ce sujet est exploré en détail dans le cours sur les Transformations de Lorentz en Relativité Restreinte.

En considérant les référentiels inertiels S et S^\prime dans une configuration standard, où leurs axes et origines coïncident à t=t^\prime =0, et un photon émis à t=t^\prime = 0 depuis l’origine, les coordonnées spatiales et temporelles du photon dans chaque référentiel doivent satisfaire à l’équation :

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

À partir de cette équation et du principe de relativité, nous dérivons les célèbres transformations de Lorentz :

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Où \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c est le boost de vitesse acquis par S^\prime en se déplaçant par rapport à S à une vitesse v_{ss^\prime_x}, et \gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} est le facteur de Lorentz associé. Cette transformation de Lorentz dans la direction \hat{x} se simplifie en transformation galiléenne lorsque v_{ss^\prime_x} \ll c.

Similaire aux transformations de Galilée, il existe une symétrie qui facilite le calcul de la transformation inverse, simplement en échangeant les termes et en tenant compte du fait que \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x} :

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

L’Espace-temps de Minkowski

Les transformations de Lorentz révèlent que les coordonnées spatiales et temporelles sont intrinsèquement entrelacées. Cette relation est particulièrement claire dans la symétrie entre ct et x. En considérant deux événements, A et B, avec des coordonnées (ct_A, x_A, y_A, z_A) et (ct_B, x_B, y_B, z_B). Dans le référentiel S, nous définissons la distance quadratique de la manière suivante :

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

La distance d’espace-temps, \Delta s, est écrite comme \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. Ici, \Delta t représente une longueur temporelle et \Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} est une longueur spatiale.

L’Espace-temps de Minkowski, caractérisé par cette notion de distance d’espace-temps \Delta s, est fondamental en relativité restreinte. Il a été introduit par Hermann Minkowski et se distingue des coordonnées spatiales et temporelles en étant invariant sous les transformations de Lorentz.

\Delta s = \Delta s^\prime

Dans ce modèle, l’espace et le temps se combinent en un continuum quadrimensionnel. Contrairement à la géométrie euclidienne, la géométrie de l’espace-temps de Minkowski est pseudo-euclidienne en raison des signes négatifs dans ses composantes spatiales. Néanmoins, pour un temps t constant, la géométrie spatiale de Minkowski reste euclidienne.

Que se passe-t-il avec les longueurs d’espace, de temps et d’espace-temps sous les transformations de Lorentz ?

Comme mentionné précédemment, les longueurs d’espace-temps \Delta s sont invariantes sous les transformations de Lorentz, mais en plus de cela, les longueurs de temps et d’espace, séparément, changent sous ces transformations. Nous allons maintenant démontrer ces faits étape par étape.

D’abord, rappelons les événements A et B considérés au début avec leurs coordonnées spatio-temporelles respectives par rapport au système S :

• Événement A : (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• Événement B : (ct_B,x_B, y_B, z_B)

Pour ces développements, nous utiliserons sans perte de généralité les transformations de Lorentz pour les systèmes S et S^\prime en configuration standard où S^\prime se déplace à une vitesse \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} par rapport à S

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

Développement pour les longueurs de temps pur

Supposons que les événements A et B, observés depuis le référentiel S, sont séparés uniquement dans le temps, comme les tics d’une horloge. Dans ce cas, le temps écoulé entre un tic sera calculé de la manière suivante :

c\Delta t = c(t_B - t_A)

D’autre part, la séparation temporelle entre les mêmes événements observés depuis S^\prime sera :

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

Ces séparations temporelles sont liées par les transformations de Lorentz de la manière suivante :

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

Maintenant, puisque les événements A et B sont séparés uniquement dans le temps pour l’observateur dans S, nous avons \Delta x = 0. Donc :

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

Il est important de noter que :

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infty[

Cela est dû au fait que \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

En termes simples, si un observateur dans S mesure un intervalle de temps \Delta t comme le tic-tac d’une horloge, un observateur dans S^\prime mesurera ce même intervalle comme \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t, qui est supérieur ou égal à \Delta t. Cet effet, connu sous le nom de dilatation du temps, montre comment le temps s’allonge entre des observateurs inertiels qui subissent un boost de vitesse \beta_{ss^\prime_x}. Par conséquent, le passage du temps n’est pas le même pour tous les observateurs inertiels, montrant que les longueurs temporelles ne sont pas invariantes sous les transformations de Lorentz.

Développement pour les longueurs d’espace pur

Supposons que les événements A et B sont séparés uniquement dans l’espace, comme les extrémités d’une règle. Supposons, sans perte de généralité, que cette règle est orientée le long de l’axe \hat{x} de S. Nous aurons alors :

\Delta x = x_B - x_A

Vue de S^\prime, cette séparation spatiale sera :

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

En appliquant les transformations de Lorentz, nous pouvons établir la relation entre les deux observations :

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

Puisque les événements A et B sont simultanés pour S, il s’ensuit que \Delta t = 0, et donc :

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

Par exemple, si nous plaçons une règle de longueur l_0 dans un wagon de train (observateur S^\prime), qui se déplace par rapport à nous (observateur S), et que la règle est alignée avec la direction du mouvement, la longueur observée sera :

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

Cela signifie que nous percevrons la longueur de la règle comme étant plus courte qu’elle ne l’est en réalité. Ce phénomène est connu sous le nom de contraction de Lorentz et montre que les intervalles spatiaux ne sont pas conservés sous les transformations de Lorentz.

Développement pour les longueurs d’espace-temps

Après avoir analysé comment les longueurs d’espace pur et de temps pur se transforment, examinons maintenant le comportement des longueurs d’espace-temps sous les transformations de Lorentz. Rappelons qu’une longueur d’espace-temps, observée par l’observateur S^\prime pour deux événements A et B, s’exprime de la manière suivante :

\begin{array}{rl} \Delta s^\prime &= \sqrt{c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \\ \\ &= \sqrt{c^2 (t^{\prime 2}_B - t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{\prime 2}_B - y^{\prime 2}_A) + (z^{\prime 2}_B - z^{\prime 2}_A) \right]} \end{array}

Ensuite, nous verrons comment ces longueurs sont liées après avoir appliqué les transformations de Lorentz, dans le cas où S^\prime a un boost de vitesse \beta_{ss^\prime_x} par rapport à S.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (c^2 t^{\prime 2}_B - c^2 t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right] \\ \\ \\ &= \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)\right]^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \left( \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)\right]^2 \right) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}^2 (ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)^2 + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_B^2 \color{black} - \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_B x_B} + \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_B^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_A^2\color{black} + 2 \cancel{\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_A x_A} - \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_A^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green} \gamma_{ss^\prime_x}^2x_B^2 \color{black} + \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_B x_B} - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_B^2 \color{black}+ \cdots \\ \\ & \cdots + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2x_A^2\color{black}- \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_A x_A} + \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_B^2\color{black} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_B^2\color{black} + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_А) \right\} \\ \\ \\ \end{array}

Enfin, en rappelant que \gamma_{ss^\prime_x}^2 = 1/(1-\beta_{ss^\prime_x}^2), nous obtenons ce qui suit :

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= c^2 t_B^2 - c^2 t_A^2 - x_B^2 + x_A^2 - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 (t_B^2 - t_A^2) - \left\{ (x_B^2 - x_A^2) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \\ \\ &= \Delta s^2 \end{array}

Nous avons donc démontré que, contrairement aux longueurs de temps et d’espace purs, les longueurs d’espace-temps restent constantes sous les transformations de Lorentz.