Formulation empirique du gaz idéal

T’es-tu déjà demandé pourquoi un ballon se dilate lorsqu’on le chauffe ou pourquoi la pression d’un pneu varie lorsqu’on change d’altitude ? Dans cette leçon, nous examinerons les lois qui régissent ces comportements et comment elles conduisent à l’équation des gaz parfaits, ainsi qu’à ses considérations et points importants.

Objectifs d’apprentissage
À la fin de cette leçon, l’étudiant sera capable de :

1. Expliquer les lois empiriques des gaz parfaits (Boyle–Mariotte, Charles, Gay-Lussac) et leur synthèse dans l’équation d’état (PV = nRT, PV = N k_B T).
2. Appliquer l’équation des gaz parfaits et la relation PV/T = cte pour résoudre des changements d’état avec des unités cohérentes.
3. Analyser les processus isothermes, isobares et isochoriques et leurs trajectoires dans les diagrammes P–V, V–T et P–T.
4. Reconnaître le domaine de validité du gaz parfait et choisir des modèles alternatifs (van der Waals, quantique, relativiste) lorsque cela est approprié.

TABLE DES MATIÈRES
Lois empiriques fondamentales
Combinaison des lois dans l’équation des gaz parfaits
Démonstrations par processus
Commentaires et contexte microscopique
Domaine de validité et limitations
Notes pratiques

Lois empiriques fondamentales

Les expériences sur les gaz montrent une dépendance entre la pression P, le volume V et la température T. Dans des conditions contrôlées, trois lois empiriques fondamentales sont observées :

1. Loi de Boyle–Mariotte (isotherme) : Dans un processus à température constante, le volume et la pression d’un gaz sont inversement proportionnels ; c’est-à-dire :
   P \propto \dfrac{1}{V}\quad\Leftrightarrow\quad PV=\text{cte.}
   Exemple : Un gaz qui, à une pression initiale de P_1 = 15\ \mathrm{MPa}, se détend isotermiquement d’un volume initial V_1 = 1{,}00\ \mathrm{L} jusqu’à un volume final V_2 = 2{,}00\ \mathrm{L} verra sa pression réduite de moitié. Comme le produit PV=\text{cte.}, on a P_1 V_1 = P_2 V_2, ce qui conduit à :

   P_2 = \dfrac{P_1 V_1}{V_2} = 15\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{1{,}00\ \mathrm{L}}{2{,}00\ \mathrm{L}}\right) = 7{,}50\ \mathrm{MPa}

   
2. Loi de Charles (isobare) : Dans un processus à pression constante, le volume et la température d’un gaz sont directement proportionnels ; c’est-à-dire :
   V \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{V}{T}=\text{cte.}
   Exemple : Un gaz qui, à une température initiale de T_1 = 300\ \mathrm{K}, est chauffé isobariquement jusqu’à T_2 = 450\ \mathrm{K} à partir d’un volume initial V_1 = 2{,}00\ \mathrm{L} verra son volume augmenter de 50 % (un facteur \tfrac{3}{2}). Comme \tfrac{V}{T}=\text{cte.}, on a \dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}, ce qui conduit à :

   V_2 = V_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 2{,}00\ \mathrm{L}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 3{,}00\ \mathrm{L}

   

3. Loi de Gay-Lussac (isochore) : Dans un processus à volume constant, la pression et la température d’un gaz sont directement proportionnelles ; c’est-à-dire :
   P \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{P}{T}=\text{cte.}
   Exemple : Un gaz qui, à une température initiale de T_1 = 300\ \mathrm{K}, est chauffé isochoriquement jusqu’à T_2 = 450\ \mathrm{K} à partir d’une pression initiale P_1 = 1{,}00\ \mathrm{MPa} verra sa pression augmenter dans la même proportion. Comme \tfrac{P}{T}=\text{cte.}, on a \dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2}, ce qui conduit à :

   P_2 = P_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 1{,}00\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 1{,}50\ \mathrm{MPa}

   

Combinaison des lois dans l’équation des gaz parfaits

Ces trois lois peuvent être synthétisées en une seule relation de proportionnalité :

PV \propto T

À partir de considérations expérimentales et microscopiques, il est possible de déduire la constante de proportionnalité comme le produit entre le nombre de particules N et la constante de Boltzmann k_B = 1{,}380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}, obtenant ainsi la relation microscopique :

\boxed{PV = N\,k_B\,T}

De manière analogue, en termes molaires, la constante de proportionnalité est obtenue comme le produit entre le nombre de moles n et la constante universelle des gaz R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}, conduisant à la relation molaire :

\boxed{PV = n\,R\,T}

Quelle que soit la situation, il existe une relation de proportionnalité directe entre le produit PV et T, ce qui revient à dire que si un gaz parfait passe entre deux états, l’un ayant les valeurs initiales (P_\alpha, V_\alpha, T_\alpha) et l’autre les valeurs finales (P_\omega, V_\omega, T_\omega), alors ils satisfont la relation

\dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega}

et, par conséquent, PV/T = cte.

Cette relation, qui peut être utilisée comme base expérimentale pour formuler à la fois la relation microscopique et molaire, peut être déduite directement à partir des lois expérimentales de Boyle–Mariotte, de Charles et de Gay-Lussac. Le raisonnement est le suivant :

Nous pouvons le démontrer de trois manières :

1. Une variation de volume à travers un processus isotherme et un processus isobare
2. Une variation de pression à travers un processus isotherme et un processus isochore
3. Une variation de température à travers un processus isobare et un processus isochore

Pour le développement de ces trois cas, nous aurons besoin d’un état intermédiaire avec des valeurs (P_i,V_i,T_i)

Démonstrations par processus

Démonstration par variation de volume

Si l’état initial (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) est relié à l’état intermédiaire (P_i,V_i,T_i) par un processus isotherme, et que cet état intermédiaire est ensuite relié à l’état final (P_\omega,V_\omega,T_\omega) par un processus isobare, alors on a :

\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & V_i/T_i = V_\omega/T_\omega & \\ &\text{isotherme}& &\text{isobare} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = P_i \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = \dfrac{V_i T_\omega}{T_i} \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}

À partir de cela, on obtient :

\begin{array}{rl} & V_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) V_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{P_\alpha}{P_i} \right) V_\alpha = \dfrac{T_\omega P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha P_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Démonstration par variation de pression

Si l’état initial (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) est relié à l’état intermédiaire (P_i,V_i,T_i) par un processus isotherme, et que cet état intermédiaire est ensuite relié à l’état final (P_\omega,V_\omega,T_\omega) par un processus isochore, alors on a :

\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{isotherme}& &\text{isochore} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}

À partir de cela, on obtient :

\begin{array}{rl} & P_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) P_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{V_\alpha}{V_i}\right)P_\alpha = \dfrac{T_\omega V_\alpha P_\alpha}{T_\alpha V_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Démonstration par variation de température

Si l’état initial (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) est relié à l’état intermédiaire (P_i,V_i,T_i) par un processus isobare, et que cet état intermédiaire est ensuite relié à l’état final (P_\omega,V_\omega,T_\omega) par un processus isochore, alors on a :

\begin{array}{rclcl} & V_\alpha/ T_\alpha= V_i / T_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{isobare}& &\text{isochore} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = P_\alpha & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{V_\alpha T_i}{T_\alpha} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = \dfrac{V_i T_\alpha}{V_\alpha} & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{P_\omega T_i}{P_i} \end{array}

À partir de cela, on obtient :

\begin{array}{rl} & T_\omega = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) T_i = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) \left(\dfrac{V_i}{V_\alpha}\right)T_\alpha = \dfrac{P_\omega V_\omega T_\alpha}{P_\alpha V_\alpha} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}

Commentaires et contexte microscopique

Bien que la formulation précédente soit empirique, elle peut être dérivée à partir des premiers principes grâce à la Théorie Cinétique des Gaz. Dans ce modèle, le gaz est une collection de particules qui se déplacent et entrent en collision entre elles et avec les parois du récipient. Il est idéalisé à l’aide d’hypothèses telles que :

1. Absence de forces d’attraction ou de répulsion à distance entre les particules.
2. Particules ponctuelles ou de taille négligeable, de forme sphérique.
3. Collisions parfaitement élastiques entre les particules et avec les parois.

Ces idéalisations simplifient l’analyse et, bien qu’aucun gaz réel ne les respecte exactement, elles décrivent correctement de nombreux gaz sur une large gamme de conditions et constituent une base pour la Thermodynamique Classique, avec des applications allant des moteurs thermiques à la physique atmosphérique et à l’astrophysique.

Domaine de validité et limitations

La loi des gaz parfaits n’est pas universelle. Elle diverge lorsque les hypothèses précédentes cessent d’être raisonnables ou lorsque des effets hors du cadre de la physique classique apparaissent.

• Hautes pressions et basses températures : les interactions entre molécules ne sont plus négligeables et la taille finie des particules devient importante. Une correction courante est l’équation de van der Waals :
  \left(P + a\left(\dfrac{n}{V}\right)^2\right)\,(V - nb)=nRT

  avec des paramètres a et b caractéristiques de chaque gaz.

• Régime quantique : à très basse température ou à densité élevée, apparaissent les statistiques de Bose–Einstein ou de Fermi–Dirac, nécessitant des modèles de gaz quantiques.
• Régime relativiste : si les particules se déplacent à des vitesses proches de celle de la lumière, des corrections relativistes sont nécessaires.

Notes pratiques

• Utilise toujours la température en Kelvin dans les formules : T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
• Assure-toi de la cohérence des unités : si tu travailles avec \mathrm{atm} et \mathrm{L}, utilise R=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}} ; si tu utilises \mathrm{Pa} et \mathrm{m^3}, emploie R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
• Souviens-toi que chaque loi empirique a été obtenue en maintenant une variable fixe. Combiner les résultats nécessite de bien comprendre quel processus thermodynamique est réalisé à chaque étape.