Le Théorème du Sandwich pour le Calcul des Limites
Résumé:
Ce cours présente le Théorème du Sandwich, un outil clé en calcul pour évaluer des limites difficiles en utilisant des fonctions plus simples qui les encadrent par le haut et par le bas. Une explication graphique et une démonstration formelle sont proposées, suivies d’exemples pratiques. L’objectif est que les étudiants comprennent comment appliquer ce théorème pour calculer les limites de manière plus efficace.
Objectifs d’apprentissage:
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de
- Comprendre l’utilité du Théorème du Sandwich dans le calcul des limites.
- Identifier des fonctions qui peuvent encadrer une fonction cible pour appliquer le théorème.
- Appliquer le Théorème du Sandwich pour calculer des limites difficiles.
- Visualiser graphiquement le concept du Théorème du Sandwich.
- Démontrer le Théorème du Sandwich de manière formelle.
TABLE DES MATIÈRES:
Introduction
Idée Graphique du Théorème du Sandwich
Démonstration du Théorème du Sandwich
Exemples
Introduction
L’utilité du Théorème du Sandwich réside dans la facilité qu’il offre pour calculer certaines limites difficiles à travers d’autres plus simples. Le nom vient du fait que, au lieu de calculer directement la limite d’une fonction lorsque x\to x_0, on utilise une autre paire de fonctions, l’une encadrant par le haut et l’autre par le bas, et dont la limite en x_0 coïncide et est facile à obtenir. Comme la fonction d’origine est toujours entre les deux, elle est comme « le fromage entre deux tranches de pain ».
Idée Graphique du Théorème du Sandwich
L’idée qui synthétise le théorème est en réalité assez simple. Supposons que nous voulons calculer une limite difficile
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
Ce que l’on fait généralement, c’est de prendre toutes nos connaissances en algèbre des fonctions pour essayer de la simplifier au point où nous pouvons l’évaluer. Cependant, parfois, une approche différente est beaucoup plus efficace. Supposons que nous avons un intervalle fermé I tel que x_0 \in I et qu’il existe deux autres fonctions m(x) et M(x) qui satisfont la relation suivante
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
Et qu’en plus
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
Alors, il se vérifiera que
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
C’est ce que nous pouvons voir dans l’image suivante.
Démonstration du Théorème du Sandwich
Pour démontrer le Théorème du Sandwich, nous suivrons le raisonnement suivant :
| (1) | x_0\in I; Prémisse |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; Prémisse |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; Prémisse |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); Prémisse |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); De (4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); De (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); De (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
Exemples
En utilisant le Théorème du Sandwich, nous pouvons calculer la limite de fonctions même lorsque nous n’avons pas leur expression algébrique explicite. Un exemple de cela se présente dans la situation suivante :
Un exemple de cela se présente dans la situation suivante :
- Si \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, lorsque -1\leq x\leq 1. Quelle est la valeur de \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [SOLUTION]
Une autre utilisation pratique du Théorème du Sandwich se produit lorsque la limite elle-même n’est pas évidente par rapport à d’autres limites plus simples qui l’encadrent par le haut et par le bas, comme c’est le cas lorsque l’on calcule l’exemple suivant :
- Calculer : \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [SOLUTION]