Intégrales Indéfinies et Techniques de Base d’Intégration

Dans ce cours, les techniques de base pour calculer les intégrales indéfinies les plus élémentaires sont introduites, ainsi que les propriétés de l’opérateur d’intégration. Cela comprend les intégrales polynomiales, exponentielles, hyperboliques et trigonométriques de base.

Objectifs d’Apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de

1. Comprendre le processus d’intégration indéfinie comme le processus inverse de la dérivation.
2. Calculer l’intégrale de polynômes et d’expressions impliquant des fonctions exponentielles, hyperboliques et trigonométriques.
3. Utiliser les propriétés des intégrales pour effectuer des manipulations algébriques facilitant leur calcul.

TABLE DES MATIÈRES
LA PERTINENCE DES INTÉGRALES INDÉFINIES
ANTIDÉRIVÉES, INTÉGRALES INDÉFINIES ET PRIMITIVES DE FONCTIONS
TECHNIQUES DE BASE D’INTÉGRATION

La pertinence des intégrales indéfinies

Les intégrales indéfinies sont un outil fondamental en calcul et ont une large gamme d’applications dans les sciences physiques et mathématiques. Elles permettent de calculer la fonction primitive d’une fonction donnée, ce qui est ensuite utilisé pour calculer des aires sous des courbes, des volumes de solides, des probabilités et de nombreuses autres applications en physique, ingénierie, statistique et économie. De plus, les intégrales indéfinies sont essentielles pour la résolution d’équations différentielles, ce qui les rend indispensables dans de nombreux domaines scientifiques et technologiques.

Antidérivées, intégrales indéfinies et primitives de fonctions

Si une fonction F(x) a pour dérivée f(x) sur un intervalle donné I, alors on dit que F(x) est une primitive de f(x) sur cet intervalle.

Il est important de noter que si F(x) est une primitive de f(x), alors F(x) + C l’est également, où C est une constante réelle quelconque. Cela s’exprime ainsi :

\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C

La constante C est ce qu’on appelle une constante d’intégration, et sa présence indique que la primitive d’une fonction n’est pas une fonction unique, mais une famille de fonctions : l’ensemble de toutes les fonctions dont la dérivée est f(x) sur l’intervalle I.

Les termes antidérivée, primitive et intégrale indéfinie sont trois façons d’exprimer la même idée, et sont donc utilisés de manière interchangeable. En résumé, l’intégrale indéfinie est le processus inverse du calcul des dérivées, et c’est à partir de cette idée que ses propriétés fondamentales sont obtenues.

Propriétés de base des intégrales indéfinies

Pour pouvoir calculer les intégrales indéfinies, nous devons d’abord connaître certaines propriétés de base, qui sont directement héritées des propriétés des dérivées.

1. \displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C
   Parce que l’intégrale indéfinie est le processus inverse de la dérivation.




2. \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx
   Où \lambda est une constante réelle quelconque. Cela est vrai parce que
   
   \begin{array} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}
   
   
   Et ensuite, en utilisant f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}, on obtient
   
   \displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx




3. \displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx
   
   Cela peut être démontré de façon similaire à l’exemple précédent. Considérons deux fonctions \phi(x) et \psi(x) telles que
   
   
   f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx} et g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}
   
   
   Alors nous avons
   
   
   \begin{array} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}

Techniques de base d’intégration

Il existe des techniques de base d’intégration qui nous permettent de calculer certaines intégrales indéfinies à partir des résultats obtenus par dérivation. Grâce à ces techniques, nous pouvons obtenir les résultats suivants utiles à l’intégration :

Intégrales de fonctions polynomiales

1. \displaystyle \int 1 dx = x + C
   
   Parce que \dfrac{d}{dx} (x + C)= 1
2. \displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C, à condition que q\neq -1
   
   Parce que \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.

Avec ces résultats et les propriétés de base, nous pouvons calculer sans difficulté l’intégrale de tout polynôme.

Intégrales de fonctions exponentielles et logarithmiques

À partir des résultats connus des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques, on obtient les résultats fondamentaux suivants :

1. \displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C
   Parce que \dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x
2. \displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C
   
   Parce que \dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}
   
   Où sig(x) est la fonction signe définie comme suit :
   
   
   sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.

Le résultat de l’intégrale de 1/x nous permet d’élargir notre capacité à intégrer des fonctions, puisque nous pouvons commencer à intégrer des fonctions qui consistent en un quotient de polynômes.

Intégrales de fonctions hyperboliques de base

Les fonctions hyperboliques de base sont :

\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}

Étant donné que nous avons déjà vu comment fonctionne l’intégrale de la fonction exponentielle, nous n’aurons aucun problème avec les intégrales du sinus et du cosinus hyperbolique.

Pour le sinus hyperbolique, le calcul est pratiquement direct :

\begin{array} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}

Et pour le cosinus hyperbolique, les calculs sont pratiquement analogues :

\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}

En plus de celles-ci, il existe de nombreuses autres fonctions hyperboliques que l’on peut intégrer :

\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}

Cependant, leur intégration nécessite d’autres techniques que nous verrons dans les prochains cours.

Intégrales de fonctions trigonométriques de base

Les fonctions trigonométriques de base sont sin(x) et cos(x). Le calcul de leurs intégrales est pratiquement direct à partir de ce que nous savons déjà de leurs dérivées.

\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}

Cela s’explique par le fait que :

\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}

Conclusion

Dans ce cours, nous avons exploré les intégrales indéfinies depuis leurs fondements théoriques jusqu’à leurs applications pratiques les plus élémentaires. Nous avons appris à les reconnaître comme le processus inverse de la dérivation, à identifier leurs propriétés de base et à appliquer des techniques directes pour intégrer des fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques, hyperboliques et trigonométriques simples. Ces connaissances constituent une base essentielle pour aborder des problèmes d’intégration plus complexes à l’avenir, et seront fondamentales pour l’étude d’applications avancées en physique, ingénierie et autres sciences. Avec ces connaissances de base, il sera possible d’introduire des techniques plus sophistiquées dans les cours suivants.