Lorsque nous étudions les espaces échantillonnaux, nous constatons qu’ils peuvent être de deux types : discrets et continus. Lorsque l’espace échantillonnal est continu, il est possible de définir des variables aléatoires de cette nature et, à partir de celles-ci, d’établir les distributions discrètes de probabilité. Nous avons déjà examiné ce qui concerne les variables aléatoires ici, nous allons maintenant nous concentrer sur les distributions discrètes de probabilité.

Le concept de distribution discrète de probabilité

Nous disons qu’une variable aléatoire X a une distribution discrète de probabilité s’il existe un ensemble C\subset\mathbb{R} fini ou infini dénombrable tel que P\left(X\in C\right)=1; de cette manière, si nous avons des valeurs x\in C telles que p_X(x) = P(X=x), il est possible de vérifier que si A\subset\mathbb{R}, alors :

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

Et en particulier,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

Si nous calculons P(X\in A) en utilisant A=]-\infty, t], nous trouvons que :

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

De ce calcul, nous concluons que F_X est une « marche » avec des sauts en x\in C de taille p_X(x). La fonction p_X qui va de C à [0,1] est ce que nous appelons fonction de fréquence. Ainsi, une distribution discrète est donnée par un ensemble fini ou infini dénombrable C\subset \mathbb{R} et une fonction p_X(x)\geq 0 définie pour chaque x\in C qui satisfait les expressions (*) et (**).

Les 5 distributions discrètes de probabilité les plus connues

Dans cette section, nous poursuivrons notre étude sur les distributions discrètes de probabilité. Ci-dessous, nous verrons les 5 distributions discrètes de probabilité les plus connues, qui seront illustrées en montrant le type de problèmes qu’elles peuvent aider à résoudre.

Distribution Binomiale ou de Bernoulli

La distribution binomiale, ou de Bernoulli, prend comme variable aléatoire le nombre de succès ou d’échecs (X) en n essais avec une probabilité individuelle p. On dit que la variable aléatoire X suit une distribution binomiale, X\sim Bi(n,p), alors,

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

Distribution de Poisson

Les processus de Poisson se divisent en deux catégories : spatiale et temporelle. Cette distinction découle de la décomposition du paramètre \lambda:

• Cas temporel : \lambda=f\cdot T, où f est une fréquence et T une période de temps.
• Cas spatial : \lambda=\rho \cdot V, où \rho est une densité et V un volume d’échantillon.

Il est important de noter que dans les deux cas, le paramètre \lambda doit être adimensionnel. Il faut également se rappeler que le processus de Poisson est un cas limite du processus binomial, de sorte que la variable aléatoire associée à ce processus est également liée à un certain « nombre de succès ou d’échecs ». On dit que la variable aléatoire X suit une distribution de Poisson, X\sim Po(\lambda), si elle vérifie :

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Distribution Géométrique

Imaginez un processus binomial (comme celui de lancer une pièce de monnaie de manière répétée). Si, au lieu de demander le nombre de succès après un certain nombre d’essais, vous demandez le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès, alors vous avez une variable aléatoire discrète avec une distribution géométrique. Une variable aléatoire X a une distribution géométrique, X\sim Ge(p), si :

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

Distribution Binomiale Négative

Similaire à la Géométrique est la Distribution Binomiale Négative, sauf qu’elle est un peu plus générale. Lorsque vous effectuez un processus binomial (comme lancer une pièce de monnaie de manière répétée) et qu’au lieu de demander le nombre de succès vous demandez le nombre d’essais jusqu’à obtenir le m-ème succès, alors vous avez une variable aléatoire discrète avec une distribution Binomiale Négative. Si une variable aléatoire X a une distribution Binomiale Négative, X\sim Bn(m,p), alors :

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

Distribution Hypergéométrique

Imaginez que vous avez un sac avec N sphères colorées, dont M sont blanches et les autres sont noires. Si vous retirez n sphères de ce sac (sans remplacement), alors le nombre de sphères blanches retirées sera associé à une variable aléatoire discrète avec une distribution Hypergéométrique. Si une variable aléatoire X a une distribution Hypergéométrique, X\sim Hg(N,M,n), alors :

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

Exercices Proposés

1. Un magasin de jeux de société vend des cartes au hasard d’un lot de 500 cartes échangeables (imaginez qu’il s’agisse de cartes de mythes, magie, pokemon ou tout autre jeu tcg). Si le vendeur s’assure qu’il y a toujours 450 cartes communes (de faible valeur) et 50 cartes rares (de grande valeur), quelle est la probabilité d’obtenir 3 cartes rares en achetant 20 cartes au hasard ?

2. En utilisant la carte suivante dans un jeu :

   

   Quelle est la probabilité de défausser 4 cartes de l’adversaire ?

3. Dans un certain magasin, la probabilité de vendre un appareil avec un défaut de fabrication est de 2 %. Quelle est la probabilité que le dixième appareil vendu soit le troisième avec des défauts de fabrication ?