1. Algèbre des polynômes : Définitions

Pour comprendre l’algèbre des polynômes, nous devons d’abord savoir ce que sont les polynômes. Les polynômes sont des fonctions algébriques. Si x est une variable réelle, alors on dit que la fonction P(x) est un polynôme si elle peut être écrite sous la forme :

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

où n est un entier non négatif et tous les a_i, avec i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, sont des coefficients réels. S’il existe un k tel que a_k\neq 0 et, lorsque k\lt i, il arrive que a_i=0, alors on dit que cette valeur de k est le degré du polynôme. En d’autres termes, le degré d’un polynôme est la plus grande puissance qui accompagne un coefficient non nul.

2. Types de polynômes

Les polynômes sont classés selon leur degré ; c’est pourquoi, lorsqu’un polynôme est mentionné, on dit presque toujours qu’il s’agit d’un polynôme de degré k, lorsque k est la plus grande puissance de x qui accompagne le coefficient non nul de ce polynôme.

2.1. Les polynômes constants

C’est la famille qui englobe tous les polynômes de degré zéro et le polynôme nul. On dit qu’un polynôme est de degré zéro, s’il peut être écrit sous la forme P(x)=c, avec c\neq 0. D’autre part, le polynôme nul est de la forme P(x) = 0 et pour celui-ci, un degré n’est pas défini.

3. Algèbre des polynômes : Opérations

Les polynômes héritent toutes leurs propriétés de l’algèbre des nombres réels. Les propriétés distributives et associatives sont particulièrement pertinentes.

3.1. Addition et soustraction

Si P et Q sont deux polynômes de degré n et m, respectivement, avec

m=n+k et 0\leq k,

alors il se trouve que :

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

C’est-à-dire que les coefficients accompagnant les mêmes puissances de x sont additionnés ou soustraits, selon le cas.

EXEMPLE :
Si P(x) = 3+5x+2x^2 et Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, alors :

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. Multiplication

Dans le même contexte que pour l’addition et la soustraction de polynômes, la multiplication des polynômes se développera de la manière suivante :

Nous distinguons d’abord la multiplication par un scalaire. Si c \in \mathbb{R}, alors nous avons :

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

Et puis nous avons la multiplication entre polynômes :

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \ sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \ sum_{j=0}^m \left( \ sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \ right) \\ \\ &=\displaystyle \ sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

C’est ce que nous résumerions par l’expression « la somme des produits de tous avec tous ».

EXEMPLE :
Si P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 et Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, alors :

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. Factorisation et division des polynômes

Lorsque nous multiplions deux polynômes, nous passons de deux polynômes simples à un autre plus complexe (de degré supérieur). Lorsque nous factorisons un polynôme, nous suivons le processus inverse : nous transformons un polynôme complexe en produit de deux ou plusieurs polynômes de degré inférieur.

Pour factoriser un polynôme P(x), il est nécessaire de trouver les valeurs de x qui annulent le polynôme ; si de telles valeurs existent, alors le polynôme est factorisable. Parler de l’existence est accessible, mais les trouver est une autre histoire. Nous examinerons ce sujet plus en détail lorsque nous étudierons les factorisations des polynômes quadratiques et (2n)quadratiques.

4.1. Produits notables

Cependant, il existe des cas où la factorisation est obtenue facilement,
comme celui des produits notables. Certains de ces résultats sont les suivants :

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4. L’algorithme de la division

De même que la multiplication d’entiers donne des nombres composés et que la division via l’algorithme de la division permet de factoriser lorsque le reste est nul, quelque chose de similaire se produit avec les polynômes. Expliquer l’algorithme de la division « en texte » peut être un peu compliqué, il est beaucoup plus facile de le comprendre en regardant directement comment cela se fait et dans quels cas l’algorithme conduit à une factorisation. Pour cela, nous examinerons quelques exemples.

EXEMPLE : Calculer P(x):Q(x) pour les cas suivants :

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [SOLUTION]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [SOLUTION]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [SOLUTION]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [SOLUTION]