Introducción

Los límites laterales aparecen cuando nos encontramos con límites que sólo podrían existir por la izquierda o la derecha, pero no desde ambos lados. Los que hemos estudiado hasta ahora son presisamente de esta última especie: para que el límite de la función f cuando x\to x_0 exista, es necesario que f esté bien definida a ambos lados de x_0; si tal cosa no ocurre, entonces la definición de límite no funcionará. Como las situaciones en que se dan este tipo de límites son frecuentes, es necesario encontrar una forma de tratar con ellos. Esto es resuelto a través de una definición formal.

Idea intuitiva de Límites Laterales y Bilaterales

Para que exista el límite de una función f, cuando x\to x_0, es necesario que la función esté bien definida a ambos lados de x_0. Si esto ocurre, entonces hablamos de un límite bi-lateral. Y si además tal límite diera por resultado L, entonces no habría problema en escribir

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

Ahora, imaginemos que redefinimos esta función de modo tal que su dominio sólo incluya valores mayores que x_0. Si hacemos esto, notaremos que el límite ha dejado de existir (porque existirán valores de x para los que no tendrá sentido); sin embargo, gráficamente aún podriamos decir que, cuando x\to x_0, f(x) sigue tendiendo a L. La idea intuitiva que estamos produciendo aquí es la de límite lateral por la derecha, que es lo que representaríamos a través de la escritura

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

y de forma completamente análoga tendremos el límite por la izqueirda

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

Finalmente, el límite bilateral existirá siempre que los límites laterales existan y sean iguales

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)

Definición Formal de Limites Laterales

Para definir formalmente los límites laterales es suficiente con aplicar una pequeña modificación sobre la definición original de límite.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Para los límites laterales por la derecha la definición nos queda así:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Para los límites laterales por la izquierda será:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Condiciones para el álgebra de Límites

Lo interesante de tener estas definiciones es que estan ambas contenidas a la vez en la definición del límite usual, y esto es importante porque nos exime de volver a demostrar todas las propiedades que ya probamos para los límites bilaterales. Toda el algebra de límites funcionará tal y como hemos visto en clases anteriores siempre y cuando los límites involucrados sean de la misma naturaleza (ambos por la izquierda, o ambos por la derecha, nunca mezclados), estén dirigidos al mismo punto y existan en ese punto.

Ejercicios Propuestos y Resueltos

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [SOLUCIÓN]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [SOLUCIÓN]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [SOLUCIÓN]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [SOLUCIÓN]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [SOLUCIÓN]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h} [SOLUCIÓN]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [SOLUCIÓN]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [SOLUCIÓN]