Límite de Funciones de una Variable Real
Resumen:
En esta clase se revisa en profundidad la definición formal de límite de las funciones de una variable real y, a partir de esta se demuestran las principales propiedades que conducen al álgebra de los límites.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de:
- Recordar la definición de límite de funciones de una variable real.
- Demostrar las propiedades que conducen al álgebra de los límites mediante deducciones \epsilon-\delta.
- Calcular límites de funciones de una variable real utilizando el álgebra de límites y sus propiedades.
INDICE DE CONTENIDOS
Introducción
La noción intuitiva de límite de una función desde un enfoque gráfico
La Definición Formal de Límite
Propiedades de los Límites
Si el límite existe, entonces es único
Álgebra de Límites
Cálculo de límites sencillos
Introducción
<¿Qué diferencia hay entre estudiar algebra y geometría con respecto al estudio del cálculo? La respuesta a esta interrogante nos la da el concepto de límite. En este artículo se estudia por lo tanto el límite y su definición.
La palabra límite normalmente la asociamos con una especie de frontera, como la frontera de un intervalo de extremos a, b (independiente de su naturaleza)
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
o como con el presente, del que podemos decir es la frontera entre el pasado y el futuro. De forma mas o menos similar, la idea de límite introduce la comprensión matemática de ésta idea intuitiva de acercarnos asintóticamente a un cierto punto.
La noción intuitiva de límite de una función desde un enfoque gráfico
Para comenzar a visualizar la idea de límite, es oportuno iniciar la representación gráfica de una función y preguntar por lo que ocurrirá con f(x) a medida que x se aproxima a x_0 tanto como se desee.
Si x está cerca de x_0, entonces existirá un intervalo abierto de radio \delta y centro x_0 tal que el x estará contenido en él. Esto lo podemos representar de tres formas distintas:
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
o bien x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
En nuestro contexto, estas son tres formas de decir lo mismo; aunque la última, que se lee como «el x contenido en la bola abierta de centro x_0 y radio \delta, sería más adecuada para un curso de topología, donde se profundizaría mucho más en este «tema de la proximidad».
Si esto ocurre, entonces observaremos que existirá otro intervalo abierto de centro l radio \epsilon tal que f(x) está contenido en él, es decir: |f(x) - l|\lt \epsilon.
De aquí emerge la idea base del concepto matemático de límite, del hecho de que este existirá cuando: si 0 \lt|x-x_0|\lt \delta, entonces |f(x)-l|\lt \epsilon; y éste valor l será el límite de la función cuando x se aproxima a x_0 tanto como queramos.
La Definición Formal de Límite
Desde la concepción intuitiva y gráfica que se acaba de presentar es posible comenzar a dilucidar la definición formal de límite. Decimos que el límite existe cuando, sin importar quien sea este \epsilon (es decir, la distancia entre f(x) y l), siempre existirá un \delta tal que, si se cumple que 0 \lt|x-x_0|\lt \delta entonces se cumplirá que |f(x) - l|\lt \epsilon. Esta idea que en un principio es difícil de capturar y es motivo de lágrimas para la mayoría de los estudiantes de cálculo en el mundo, se puede sintetizar a través de la siguiente expresión:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
Propiedades de los Límites
Lo importante de tener una definición formal de límite es que ahora, a partir de ésta, podemos demostrar sus propiedades, tanto aquellas que resultan intuitivas como otras que no lo son tanto.
Antes de continuar, si bien no es estrictamente necesario, es altamente recomendable que revises algunos conceptos de lógica matemática para que puedas entender con mayor facilidad las demostraciones que vienen a continuación.
Si el límite existe, entonces es único
Para demostrar esta propiedad, nos valdremos de la técnica de reducción al absurdo. Partiremos definiendo el siguiente conjunto de premisas:
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
A partir de ésto podemos construir la siguiente prueba formal:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Presunción |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; Presunción |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; Presunción |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge–Int(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); Monotonia(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; Porque L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); Usando(5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L \lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + L^\prime \lt 2f(x) - 2L^\prime \lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; De(1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; Mismo procedimiento que (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-int(8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; Def(10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; MP(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; Contradicción(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
De ésta demostración tenemos que, si existen dos límites, entonces son iguales y, por lo tanto, el límite es único.
Álgebra de Límites
Con lo visto hasta ahora revisamos lo esencial sobre la idea matemática de límite. Pero sólo con esto no es suficiente para poder hacer cálculos con él ni de lejos, sólo un loco hambriento de sufrimiento utilizaría la definición de límite con este propósito. Para resolver este problema, ahora trabajaremos las técnicas que nos ayudarán a comenzar a calcular algunos límites.
Sean x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, y sean f y g funciones reales tales que:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de la suma y de la diferencia de funciones
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
Demostración:
Consideremos el conjunto de premisas \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}, entonces a partir de ésto podemos hacer el siguiente razonamiento:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; Presunción |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; Def. |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; De(1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; Presunción |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; Análogo a (3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; de(3,5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; Desigualdad Triangular: (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; de(6,7) |
| (9) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; Definición |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; de(8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (11) | \gamma:= - \beta; Definicion |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; Analogía(10) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; de(11,12) |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; de(10,13) |
Limite del producto de funciones
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
Esta demostración es un poco más difícil que la anterior, pero no es nada que no podamos resolver mediante un par de trucos draconianos. Usando el mismo conjunto de premisas \mathcal{H} que la demostración anterior podemos construir el siguiente razonamiento:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; Definición |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; presunción |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; Usando (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; Definición |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; Presuncion |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; Usando (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; Desigualdad Triangular + Caso especial de \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; De(5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; Desigualdad Triangular + Caso especial de \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; De(7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; Sumar cero |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; Factorizar | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; Desigualdad Triangular(9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; De(5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; De(11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; De(1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; De(11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; De(1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
Límite de la función constante
El límite de la función constante f(x)=c, es la constante c. Es decir
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
Demostración
La demostración de esto es en realidad sencilla, porque en realidad se trata de una tautología. Ya se sabe que:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
Pero ocurre que 0=|c-c|\lt \epsilon es una tautología para todo épsilon positivo, de modo que la implicancia también es tautología y en consecuencia, la expresión \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c es también una tautología.
Límite del cociente entre funciones
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
Donde, al igual que en las propiedades anteriores, damos por sentado que se cumple el conjunto de premisas
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
Demostración
Por suerte, ya no tendremos que hacer más demostraciones como las que hemos realizado anteriormente, porque ahora podemos usar directamente tales resultados para lograr nuestros propósitos. Pero antes de eso, demostremos primero que
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Para probar esto es suficiente con usar la regla del límite de un producto y el límite de una función constante de forma combinada, sólo debemos tener cuidado en que g(x) no sea cero:
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
Por lo tanto: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
Finalmente, por la regla del límite del producto se tiene:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
Esto se cumplirá siempre que M no sea cero.
Límite de una potencia natural
Esta propiedad nos dice que, si \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L, entonces se cumplirá que \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). Esto lo podemos probar por inducción matemática.
Demostración:
- Caso n=1: (paso inicial)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. Esto concluye el paso inicial ✅
- Caso n=k: (paso inductivo)
Suponiendo que se cumple: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (Hipóteis de Inducción), vamos a revisar que por lo tanto se cumple \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} .
Se tiene que: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. Esto último por la regla del límite del producto demostrada más arriba.
Luego, por la hipótesis de inducción se tendrá \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. Esto concluye el paso inductivo ✅
- Por lo tanto: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
Límite de una raíz n-ésima
De forma análoga a la potencia se cumplirá que \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
Demostración:
Utilizando la regla de la potencia que acabamos de probar se tiene que
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
Por lo tanto: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
Límite de potencias fraccionarias
Con los poderes reunidos de las últimas dos demostraciones podemos concluir con nuestra última demostración, esta es: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). , que se obtiene gracias a la regla del producto porque \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p y \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
Límite \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
Con esta demostración damos cierre a esta ola de demostraciones, con esta junto a las anteriores podremos en adelante calcular gran cantidad de límites de un modo casi intuitivo.
Es sencillo probar que \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0, porque para que esto se cumpla, es necesario que
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
Según la definición de Límite, para todos los épsilon debe existir por lo menos un delta para el que se cumpla todo lo demás; de modo que basta con encontrar uno para verificar que, en efecto, el límite es el que se dice ser. Pero esto en realidad es algo obvio, porque basta con notar que cualquier \delta\leq\epsilonsatisface tal condición. Por lo tanto: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
Cálculo de límites sencillos
Gracias a todos estos teoremas que acabamos de revisar es que se puede calcular una gran variedad de límites de una forma bastante intuitiva, como si simplemente evaluamos la función. Aquí puedes ver algunos ejemplos:
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}