Nuevas consideraciones

Como consecuencia de lo visto en Propagación de las Ondas Electromagnéticas en el Vacío, en relatividad especial se postula como principio el hecho de que la velocidad de la luz c es la misma para todos los marcos inerciales. Pero tal suposición no sale gratis, porque carga con las siguientes implicancias:

1. Se deben abandonar las transformaciones de Galileo como un medio válido para transformar las observaciones de un marco inercial en las de otro.
2. Se debe dejar atrás la idea intuitiva de que el tiempo fluye del mismo modo para todos los referenciales inerciales.

Es a través de estas consideración que se obtienen las transformaciones de Lorentz, que sirve como una corrección y generalización para las transformaciones de Galileo, que además también funciona para la teoría electromagnética.

Obtención de las transformaciones de Lorentz

Recapitulación sobre las transformaciones (lineales) de coordenadas

Consideremos dos marcos inerciales S y S^\prime en configuración estándar tal que el origen segundo se mueve con velocidad constante \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} respecto del origen del primero. Lo que se hará a a continuación es demostrar que, si las coordenadas de un evento visto desde dos sistemas inerciales S y S^\prime están relacionadas por una transformación lineal como la reisada en El principio de Relatividad (específicamente, ésta expresión) y se acepta el hecho de que la luz tiene la misma velocidad desde todos los marcos inerciales, entonces la transformación de coordenadas corresponde justo con las transformaciones de Lorentz que obtendremos más adelante.

En principio, las coordenadas (t,x) de un evento visto desde S, y coordenadas (t^\prime, x^\prime) del mismo evento visto desde S^\prime que se mueve con una velocidad v_{v}=v_{x_0}\hat{x} relativo a S,, se relacionan a través de una transformación lineal tal que:

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

donde A, B, C y D son constantes a despejar y se han omitido (sin pérdida de generalidad) las coordenadas y y z para ganar en simplicidad.

Introduciendo la velocidad de la luz como constante universal

Las constantes A, B, D y E pueden ser determinadas a partir de estas nuevas consideraciones invocando algunos casos especiales. Ante todo, tenemos que tener en cuenta que la transformación de coordenadas expresadas a través de [1] y [2] debe funcionar siempre, y como consecuencia de esto, debe funcionar en cada uno de los casos particulares, y estos casos particulares son los que se enunciarán a continuación para indagar en su forma:

• Consideremos el evento como moviéndose a la velocidad de la luz: Si este tiene coordenadas (t,x) visto desde S y (t^\prime, x^\prime) visto desde S^\prime, entonces se deben satisfacer la relación:

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  A partir de esto se infiere que

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• Consideremos el evento como moviéndose junto al referencial inercial S^\prime:

  Si el evento tiene las mismas coordenadas que el origen del referencial inercial S^\prime, entonces ocurrirá que x=v_0 t y x^\prime =0. En consecuencia, a partir de la ecuación [2] se tendrá:

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• Finalmente, consideremos el evento como permaneciendo junto al origen del referencial inercial S:

  En este caso se tendrá que x=0 y x^\prime = -v_0 t^\prime, de modo que a partir de la ecuación [2] se tendrá:

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  Luego, a partir de [1] y [5] se tiene que:

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

Finalmente, de [4] y [6]: A = E, de modo que el sistema de ecuaciones dado por [1] y [2] se reduce a

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

El boost de velocidad y el factor de Lorentz

Ahora, remplazando [7] y [8] sobre [3] se tiene

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

a partir de lo que ha quedado en azul se obtiene

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

Esto generalmente se escribe remplazando A=\gamma_x (factor de contracción de Lorentz) y \beta_x = v_{x_0}/c (boost de velocidad), quedando de la forma:

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

Y remplazando [9] sobre [2] se obtiene:

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

a partir de lo que ha quedado en rojo se obtiene

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

de modo que, remplazando [9] y [10] sobre [7] se obtiene

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

Síntesis de las transformaciones de Lorentz

Finalmente, las transformación lineal que modela el cambio de coordenadas entre los sistemas S y S^\prime queda dado por las expresiones.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

Este sistema de transformaciones se puede expresar de forma matricial de la siguiente manera

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

Esto es lo que se conoce como las Transformaciones de Lorentz de la relatividad especial

Las transformaciones de Lorentz convergen y generalizan a las transformaciones de Galileo

La convergencia de las transformaciones de Lorentz a la de Galileo se observa al ver lo que ocurre con las transformaciones de Lorentz cuando la velocidad entre los referenciales inerciales es mucho menor que la de la luz. Cuanto esto ocurre se tiene que:

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

De modo que:

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

es decir:

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

que coincide justo las transformaciones de Galileo. A través de esto se corrobora que, las transformaciones de Lorentz Generalizan las transformaciones de Galileo para velocidades cercanas a la de la luz y convergen a las de Galileo cuando las velocidades son mucho menores a la velocidad de la luz