Cuando estudiamos los espacios muestrales, observamos que estos pueden ser de dos tipos: discretos y continuos. Cuando el espacio muestral es continuo, es posible definir variables aleatorias de esta naturaleza y, a partir de ellas, establecer las distribuciones discretas de probabilidad. Ya revisamos lo relativo a las variables aleatorias aquí, ahora nos centraremos en las distribuciones discretas de probabilidad.

El concepto de distribución discreta de probabilidad

Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribución discreta de probabilidad si existe un conjunto C\subset\mathbb{R} finito o infinito numerable tal que P\left(X\in C\right)=1; de este modo, si tenemos valores x\in C tales que p_X(x) = P(X=x), se puede verificar que si A\subset\mathbb{R}, entonces:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

Y en particular,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

Si calculamos P(X\in A) usando A=]-\infty, t], encontramos que:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

De este cálculo, concluimos que F_X es una «escalera» con saltos en x\in C de tamaño p_X(x). La función p_X que va de C a [0,1] es lo que llamamos función de frecuencias. Así, una distribución discreta está dada por un conjunto finito o infinito numerable C\subset \mathbb{R} y una función p_X(x)\geq 0 definida para cada x\in C que satisface las expresiones (*) y (**).

Las 5 distribuciones discretas de probabilidad más conocidas

En este apartado, continuaremos nuestro estudio sobre las distribuciones discretas de probabilidad. A continuación, veremos las 5 distribuciones discretas de probabilidad más conocidas, las cuales serán ejemplificadas mostrando el tipo de problemas que pueden ayudar a resolver.

Distribución Binomial o de Bernoulli

La distribución binomial, o de Bernoulli, toma como variable aleatoria el número de éxitos o fracasos (X) en n intentos con probabilidad individual p. Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial, X\sim Bi(n,p), entonces,

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

Distribución de Poisson

Los procesos de Poisson se dividen en dos categorías: espacial y temporal. Esta distinción surge a partir de la descomposición del parámetro \lambda:

• Caso temporal: \lambda=f\cdot T, donde f es una frecuencia y T un período de tiempo.
• Caso espacial: \lambda=\rho \cdot V, donde \rho es una densidad y V un volumen de muestra.

Es importante resaltar que en ambos casos el parámetro \lambda debe ser adimensional. También se debe recordar que el proceso de Poisson es un caso límite del proceso binomial, por lo que la variable aleatoria asociada a este proceso está también vinculada a cierto «número de éxitos o fracasos». Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson, X\sim Po(\lambda), si se cumple que:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Distribución Geométrica

Imagina un proceso binomial (como el de arrojar repetidamente una moneda). Si en lugar de preguntar por el número de éxitos después de una cierta cantidad de intentos, te preguntas por el número de intentos que debes realizar para obtener el primer éxito, entonces estarás ante una variable aleatoria discreta con distribución geométrica. Una variable aleatoria X tiene distribución geométrica, X\sim Ge(p), si:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

Distribución Binomial Negativa

Similar a la Geométrica es la Distribución Binomial Negativa, sólo que es un poco más general. Cuando realizas un proceso binomial (como lanzar consecutivamente una moneda) y en lugar de preguntar por el número de éxitos preguntas por el número de intentos que realizas hasta obtener el m-ésimo éxito, entonces te encuentras ante una variable aleatoria discreta con distribución Binomial Negativa. Si una variable aleatoria X tiene distribución Binomial Negativa, X\sim Bn(m,p), entonces se tiene que:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

Distribución Hipergeométrica

Imagina que tienes un saco con N esferas de colores, de las cuales M son blancas y el resto son negras. Si de este saco extraes n esferas (sin reemplazo), entonces el número de esferas blancas extraídas se asociará a una variable aleatoria discreta con distribución Hipergeométrica. Si una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica, X\sim Hg(N,M,n), entonces:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

Ejercicios Propuestos

1. Una tienda de juegos de mesa vende cartas al azar de un lote de 500 cartas intercambiables (imagina que son cartas de mitos, magic, pokemon, o cualquier otro juego tcg). Si el vendedor se asegura de que en total siempre hay 450 cartas comunes (de bajo valor) y 50 cartas raras (de alto valor), ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 cartas raras al comprar 20 cartas al azar?

2. Usando la siguiente carta en un juego:

   

   ¿Cuál es la probabilidad de que se descarten 4 cartas del rival?

3. En una cierta tienda, la probabilidad de vender un dispositivo con fallo de fábrica es del 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo dispositivo vendido sea el tercero con fallos de fábrica?