مراجعة تحولات لورنتز

في النسبية الخاصة، يتم استبعاد فكرة الزمن المطلق. بدلاً من ذلك، يتم إثبات أن سرعة الضوء، c، ثابتة في جميع الأطر القصورية. هذا التغيير، مع مبدأ النسبية، يقودنا إلى تحولات لورنتز. تربط هذه التحولات إحداثيات حدث ما مرصود من إطارين قصوريين مختلفين. يتم استكشاف هذا الموضوع بالتفصيل في الحصة حول تحولات لورنتز في النسبية الخاصة.

عند النظر في الأطر القصورية S وS^\prime في التكوين القياسي، حيث تتطابق محاورهما وأصولهما عند t=t^\prime =0، ويتم إصدار فوتون في t=t^\prime = 0 من الأصل، يجب أن تفي إحداثيات الزمان والمكان للفوتون في كل إطار بالمعادلة التالية:

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

من هذه المعادلة ومبدأ النسبية نستنتج التحولات المعروفة باسم تحولات لورنتز:

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

حيث \beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c هو تعزيز السرعة المكتسب بواسطة S^\prime عندما يتحرك بالنسبة إلى S بسرعة v_{ss^\prime_x}، و\gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2} هو عامل لورنتز المرتبط. هذه التحول في اتجاه \hat{x} يبسط إلى التحول الجاليلي عندما v_{ss^\prime_x} \ll c.

على غرار تحولات غاليليو، هناك تماثل يسهل حساب التحول العكسي، ببساطة عن طريق تبادل المصطلحات وأخذ في الاعتبار أن \beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}:

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

الزمكان لمينكوفسكي

تكشف تحولات لورنتز أن إحداثيات الزمان والمكان متشابكة بشكل جوهري. هذا العلاقة واضحة بشكل خاص في التماثل بين ct وx. عند النظر في حدثين، A وB، بإحداثيات (ct_A, x_A, y_A, z_A) و (ct_B, x_B, y_B, z_B). في الإطار S، نعرف المسافة التربيعية بالطريقة التالية:

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

مسافة الزمكان، \Delta s، مكتوبة على النحو التالي \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}. هنا، \Delta t يمثل طول الزمن و\Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} هو طول المكان.

الزمكان لمينكوفسكي، يتميز بهذا المفهوم لمسافة الزمكان \Delta s، وهو أساسي في النسبية الخاصة. قدمه هيرمان مينكوفسكي، ويختلف عن إحداثيات الزمان والمكان من حيث إنه ثابت تحت تحولات لورنتز.

\Delta s = \Delta s^\prime

في هذا النموذج، يجتمع الزمان والمكان في استمرارية رباعية الأبعاد. على عكس الهندسة الإقليدية، فإن هندسة الزمكان لمينكوفسكي هي هندسة زائفة إقليدية بسبب الإشارات السالبة في مكوناتها المكانية. ومع ذلك، بالنسبة لزمن ثابت t، فإن هندسة المكان لمينكوفسكي تظل إقليدية.

ماذا يحدث لأطوال الزمان، المكان والزمكان مع تحولات لورنتز؟

كما ذكرنا سابقًا، أطوال الزمكان \Delta s ثابتة تحت تحولات لورنتز، ولكن بالإضافة إلى ذلك، أيضًا أطوال الزمان والمكان، على حدة، تتغير تحت هذه التحولات. ما سنفعله بعد ذلك هو إثبات خطوة بخطوة لهذه الحقائق.

أولاً، نذكر الأحداث A وB التي تم النظر فيها في البداية مع إحداثيات الزمكان الخاصة بهم بالنسبة إلى النظام S:

• حدث A: (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• حدث B: (ct_B,x_B, y_B, z_B)

بالنسبة لهذه التطورات، سنستخدم تحولات لورنتز لأنظمة S وS^\prime في التكوين القياسي حيث يتحرك S^\prime بسرعة \vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x} بالنسبة إلى S

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

تطورات لأطوال الزمن النقي

نفترض أن الأحداث A وB، التي تم رصدها من الإطار المرجعي S، مفصولة فقط بالزمن، مثل تكتكة ساعة. في هذه الحالة، سيتم حساب الزمن المنقضي بين تكتكتين على النحو التالي:

c\Delta t = c(t_B - t_A)

من ناحية أخرى، سيكون الفاصل الزمني بين نفس الزوج من الأحداث التي تم رصدها من S^\prime:

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

ترتبط هذه الفواصل الزمنية من خلال تحولات لورنتز على النحو التالي:

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

الآن، نظرًا لأن الأحداث A وB مفصولة فقط بالزمن بالنسبة للمراقب في S، لدينا \Delta x = 0. لذلك:

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

من المهم أن نلاحظ:

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infin[

وذلك لأن \beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[.

بعبارات بسيطة، إذا قام مراقب في S بقياس فاصل زمني \Delta t مثل تكتكة ساعة، فإن مراقبًا في S^\prime سيقيس هذا الفاصل الزمني نفسه على أنه \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t، وهو أكبر أو يساوي \Delta t. هذا التأثير، المعروف باسم تمدد الزمن، يشير إلى كيفية تمدد الزمن بين المراقبين القصوريين الذين يختبرون تعزيز السرعة \beta_{ss^\prime_x}. لذلك، مرور الزمن ليس نفسه لجميع المراقبين القصوريين، مما يثبت أن أطوال الزمن ليست ثابتة تحت تحولات لورنتز.

تطورات لأطوال المكان النقي

نفترض أن الأحداث A وB مفصولة فقط بالمكان، مثل طرفي مسطرة. نفترض، دون فقدان العمومية، أن هذه المسطرة موجهة على طول محور \hat{x} لـS. إذن، سيكون لدينا:

\Delta x = x_B - x_A

من منظور S^\prime، سيكون هذا الفصل المكاني:

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

بتطبيق تحولات لورنتز، يمكننا إنشاء العلاقة بين كلا الملاحظتين:

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

نظرًا لأن الأحداث A وB متزامنة بالنسبة لـS، نستنتج أن \Delta t = 0، وبالتالي:

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

على سبيل المثال، إذا وضعنا مسطرة بطول l_0 داخل عربة قطار (مراقب S^\prime)، والتي تتحرك بالنسبة لنا (مراقب S)، وكانت المسطرة محاذية لاتجاه الحركة، فإن الطول المرصود سيكون:

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

هذا يعني أننا سنرى طول المسطرة كما لو كان أقصر مما هو عليه في الواقع. يُعرف هذا الظاهرة باسم انكماش لورنتز ويُظهر أن الفواصل المكانية ليست محفوظة تحت تحولات لورنتز.

تطورات لأطوال الزمكان

بعد تحليل كيفية تحول أطوال الزمن والمكان النقيين، نتحقق الآن من سلوك أطوال الزمكان تحت تحولات لورنتز. نتذكر أن طول الزمكان، الذي يرصده المراقب S^\prime لحدثين A وB، يتم التعبير عنه على النحو التالي:

\begin{array}{rl} \Delta s^\prime &= \sqrt{c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \\ \\ &= \sqrt{c^2 (t^{\prime 2}_B - t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right]} \end{array}

بعد ذلك، سنرى كيف ترتبط هذه الأطوال بعد تطبيق تحولات لورنتز، في حالة أن S^\prime لديه تعزيز سرعة \beta_{ss^\prime_x} بالنسبة إلى S.

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (c^2 t^{\prime 2}_B - c^2 t^{2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right] \\ \\ \\ &= \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)\right]^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \left( \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)\right]^2 \right) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}^2 (ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)^2 + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_B^2 \color{black} - \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_B x_B} + \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_B^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_A^2\color{black} + 2 \cancel{\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_A x_A} - \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_A^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green} \gamma_{ss^\prime_x}^2x_B^2 \color{black} + \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_B x_B} - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_B^2 \color{black}+ \cdots \\ \\ & \cdots + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2x_A^2\color{black}- \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_A x_A} + \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ \end{array}

أخيرًا، تذكر أن \gamma_{ss^\prime_x}^2 = 1/(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)، نحصل على ما يلي:

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= c^2 t_B^2 - c^2 t_A^2 - x_B^2 + x_A^2 - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 (t_B^2 - t_A^2) - \left\{ (x_B^2 - x_A^2) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \\ \\ &= \Delta s^2 \end{array}

بهذا، أثبتنا أنه، على عكس أطوال الزمان والمكان النقي، تبقى أطوال الزمكان ثابتة تحت تحولات لورنتز.