نظرية الساندويتش لحساب النهايات

ملخص:
تقدم هذه الحصة نظرية الساندويتش، وهي أداة رئيسية في حساب التفاضل والتكامل لتقييم النهايات الصعبة باستخدام دوال أبسط تقيد من الأعلى والأسفل. تُقدم الحصة شرحًا رسوميًا وإثباتًا رسميًا، يليهما أمثلة عملية. الهدف هو أن يفهم الطلاب كيفية تطبيق هذه النظرية لحساب النهايات بشكل أكثر كفاءة.

أهداف التعلم:
عند إكمال هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على

• فهم فائدة نظرية الساندويتش في حساب النهايات.
• تحديد الدوال التي يمكنها تقيد الدالة المستهدفة لتطبيق النظرية.
• تطبيق نظرية الساندويتش لحساب النهايات الصعبة.
• تصور مفهوم نظرية الساندويتش رسوميًا.
• إثبات نظرية الساندويتش بشكل رسمي.

فهرس المحتويات:
مقدمة
الفكرة الرسومية لنظرية الساندويتش
إثبات نظرية الساندويتش
أمثلة

مقدمة

تكمن فائدة نظرية الساندويتش في سهولة استخدامها لحساب بعض النهايات الصعبة من خلال أخرى أبسط. السبب في تسميتها هو أنه بدلاً من حساب نهاية الدالة مباشرة عندما x\to x_0، يتم استخدام زوج آخر من الدوال، واحدة تقيد من الأعلى والأخرى من الأسفل، ونهايتهما عند x_0 تتطابق وتكون سهلة الحصول. بما أن الدالة الأصلية تقع دائمًا بين الدوالين، فهي مثل “الجبن بين شريحتي الخبز”.

الفكرة الرسومية لنظرية الساندويتش

في الواقع، الفكرة التي تلخص النظرية بسيطة للغاية. لنفرض أننا نريد حساب نهاية صعبة

\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)

عادةً ما يتم الاستعانة بكل معرفتنا في جبر الدوال لمحاولة تبسيطها حتى نتمكن من تقييمها. ومع ذلك، في بعض الأحيان يكون النهج المختلف أكثر كفاءة. لنفترض أن لدينا فترة مغلقة I بحيث x_0 \in I وهناك أيضًا دالتان أخريان m(x) و M(x) تلبيان العلاقة

(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )

وأيضًا

\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L

إذن سيتحقق

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L

هذا ما يمكننا رؤيته في الصورة التالية.

إثبات نظرية الساندويتش

لإثبات نظرية الساندويتش، سنتبع التفكير التالي:

>

<

(1)	x_0\in I; فرضية
(2)	\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; فرضية
	(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon )
(3)	\displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; فرضية
	(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon )
(4)	(\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); فرضية
(5)	(\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); من (4)
(6)	(|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon)
(7)	(|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon)
(8)	(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); من (2,3)
(9)	(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); من (1,5,6,7,8)
	(\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) )
	\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare

أمثلة

باستخدام نظرية الساندويتش، يمكننا حساب نهاية الدوال حتى عندما لا تكون لدينا تعبيرها الجبري الصريح. فيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

مثال على ذلك يحدث في الحالة التالية:

• إذا كان \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}، عندما -1\leq x\leq 1. ما هي قيمة \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [الحل]

استخدام آخر عملي لنظرية الساندويتش يحدث عندما لا تكون النهاية نفسها واضحة مقارنة بالنهايات الأخرى الأبسط التي تقيدها من الأعلى والأسفل، كما هو الحال عند حساب المثال التالي:

• احسب: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [الحل]