الصياغة الهندسية

لاشتقاق المعادلة التي تصف القطع الناقص، يجب علينا التفكير، كما نفعل مع القطوع المكافئة، في المعنى الهندسي لها. القطع الناقص هو مجموعة من جميع النقاط على المستوى بحيث يكون مجموع المسافات بين هذه النقاط ونقطتين ثابتتين نسميهما التركيزين دائماً ثابتاً.

بمعنى آخر، سيتحقق ما يلي:

d(f_1,p) + d(f_2,p) = ثابت

اشتقاق معادلة القطع الناقص

من التعريف الهندسي للقطع الناقص يمكننا اشتقاق تعبير جبري يصفه. للقيام بذلك بسهولة، سنلجأ إلى بعض التبسيطات. سنفترض، دون فقدان العمومية، أن مواقع التركيزين هي f_1 =(-c,0) وf_2 =(c,0)، وهكذا، إذا كانت أي نقطة p=(x,y) جزءًا من القطع الناقص، فسيكون من الواجب أن يتحقق:

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a

حيث a\in\mathbb{R} هو ثابت. من هذا يمكننا بناء التفكير التالي

…

هذا هو ما نسميه “معادلة القطع الناقص”.

المعادلة العامة للقطع الناقص

المعادلة التي حصلنا عليها يمكن تحويلها إلى شكلها العام من خلال التحويلات الانتقالية باستخدام الاستبدال x\longmapsto (x-h) وy\longmapsto (y-k). بهذا نصل إلى الشكل العام لمعادلة القطع الناقص

\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}

هذا هو قطع ناقص مركزه النقطة (h,k)

…

تحويل إلى معادلة الدوائر

شيء سنراجعه عندما نتحدث عن تحديد القطوع الناقصة هو أن الثوابت a وb في المعادلة العامة تتوافق مع نصفي القطر الكبير والصغير. إذا جعلنا كلا النصفي القطر متساويين، أي a=b=r، فإن القطع الناقص سيتحول إلى دائرة نصف قطرها r.

…

وهكذا، نحصل على المعادلة العامة للدائرة:

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

معادلة الدوائر القياسية

بشكل مشابه، نحصل على المعادلة القياسية للدائرة:

Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0

في شكلها القياسي تتطابق مع القطوع الناقصة، حيث أن الدوائر هي حالة خاصة من القطوع الناقصة.