تعريف المجال والمدى والتمثيل البياني

حتى الآن، قمنا بدراسة مفصلة إلى حد ما عن الدوال الخطية والتربيعية وما شابهها. كما درسنا منحنيات مثل الخطوط، القطع المكافئ، القطع الناقص والقطع الزائد بالإضافة إلى العمليات على الحدوديات والدوال الجبرية بشكل عام. الآن، بعد أن أنجزنا ذلك، سيكون من الأسهل الدخول في الجوانب الأساسية المتعلقة بالدوال، وهي ما سنبدأ بمراجعته في هذا الدرس من خلال تقديم مفاهيم المجال، والمدى، والتمثيل البياني.

لنفترض أن f دالة معرفة بين مجموعتين A و B

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

تسمى المجموعتان A و B مجموعتي “الإدخال” و “الإخراج” على التوالي. ومن هاتين المجموعتين تُعرَّف المجموعات التالية:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

تحليل الأمثلة

كل ما يمكن تعلمه حول مفاهيم المجال والمدى والتمثيل البياني هو في جوهره نظرية، لكن الفهم يكمن بشكل أكبر في تطوير أمثلة عملية، وهذا ما سنقوم به الآن من خلال تحليل الحالات الثلاث التالية:

حساب المجال والمدى والتمثيل البياني للدالة: f(x) = \sqrt{1-x^2}

لنبدأ هذا التحليل بكتابة y=f(x). إذا قمنا بذلك، سنحصل على المعادلة

y = \sqrt{1-x^2}

إذا رفعنا هذا التعبير إلى القوة الثانية، سنصل سريعًا إلى معادلة تؤدي إلى أمور نعرفها بالفعل

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

هذه هي معادلة الدائرة الوحدة.

لكن علينا أن نكون حذرين هنا، لأننا عندما نرفع إلى القوة الثانية نكون قد “أضفنا بعض المعلومات”. جبريًا، هناك قيمتان تحققان شرط “أن تكون الجذر التربيعي”، لكن في بداية هذا التحليل، الجذر مخصص كدالة، والدوال لا تقبل إلا نتيجة واحدة. نتحدث هنا عن الجذر الرئيسي. لهذا السبب، يشير الطرح الأصلي فقط إلى الجزء العلوي من الدائرة، وليس الشكل الكامل.

من هذا الرسم، من الواضح أن:

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

على الرغم من أنني أجريت هذا التحليل من منظور رسومي، فمن الممكن أيضًا القيام به من خلال نهج أكثر تحليلية عن طريق مراجعة العمليات المعنية.

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

الجزء 1-x^2 معرف لجميع الأعداد الحقيقية.

لكن الجذر التربيعي يقبل فقط القيم الأكبر من أو تساوي الصفر.

من هنا، نحصل على:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

إذن:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

طرق التحليل لتحديد المدى تكون عادةً أكثر تعقيدًا؛ يتم حل الحالات البسيطة عن طريق العثور على الدالة العكسية، ولكن قبل مراجعة هذا الموضوع بالتفصيل، من الأفضل دراسة تركيب الدوال والحالات الأبسط الأخرى للحصول على أساس متين. في غضون ذلك، ستغطي الطرق الرسومية التي سنراجعها قريبًا معظم الصعوبات التي تنطوي على تحديد المدى.

تحليل: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

إحدى الطرق السريعة للعثور على مجال الدالة هي التساؤل عن القيم x التي “تفسد الدالة”. من الواضح أن الدالة تفسد فقط عندما يكون المقام صفرًا. أي:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

نظرًا لأنه لا يوجد عدد حقيقي يمكن أن يحقق هذا الشرط، فمن الواضح أن

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

عادةً ما تكون الطريقة الأسرع لتحديد مدى الدالة هي عن طريق رسم التمثيل البياني لها؛ وللقيام بذلك، سيكون قسمة الحدوديات أداة جيدة.

عند إجراء قسمة الحدوديات، نصل إلى:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

بهذه الطريقة، قمنا بتقسيم الدالة الأصلية إلى جزأين أبسط يمكن التعامل معهما بشكل أسهل، وهما “الجزء الصحيح” و”الجزء الكسري”. رسم كل جزء على حدة أسهل بكثير من رسم الدالة الأصلية دفعة واحدة.

تحليل: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

التحليل الجبري سيساعد بسرعة في تحديد مجال هذه الدالة. يكفي أن نلاحظ أنها ستكون معرفة جيدًا متى:

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

لذلك، من الواضح أن Dom(h)=]-1,+\infty[.

للعثور على المدى، من المفيد رسم التمثيل البياني، وللقيام بذلك ببساطة، سنستخدم جدول الإشارات. تتكون الدالة h(x) من جزأين

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

يصبح الجزء العلوي صفرًا عند x=1؛ أما الجزء السفلي، بالإضافة إلى كونه صفرًا عند x=-1، فإنه يصبح غير معرف عندما x\lt-1. باستخدام هذه المعلومات، نقوم بإنشاء جدول الإشارات التالي:

باستخدام المعلومات المعروضة في هذا الجدول، أصبح الآن من السهل جدًا رسم التمثيل البياني للدالة.

وبهذا، يصبح تحديد المجال والمدى الآن أمرًا تافهًا:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

تمرين مقترح

باستخدام الأدوات التي قمنا بمراجعتها للتو، حدد مجال، مدى والتمثيل البياني للدالة التالية:

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}