ما هي سيجما-جبرا؟ التعريف والأمثلة
ملخص
تناقش هذه الدرس أهمية سيجما-جبرا في نظرية الاحتمالات. سيجما-جبرا هي هيكل يحتوي على جميع الأحداث القابلة للقياس في عينة فضاء، مما يسمح بتعريف قياس الاحتمال. يتم شرح كيفية بناء سيجما-جبرا من أجزاء العينة باستخدام أمثلة عملية مثل رمي القطع ووقت عمر جهاز إلكتروني. يتم أيضًا تقديم سيجما-جبرا بوريل، المرتبطة بعينة فضاء مستمر، وشرح أحداثها البوريلية.
أهداف التعلم:
بعد إكمال هذه الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:
- فهم تعريف سيجما-جبرا وخصائصها كهيكل رياضي يسمح بتعريف قياس الاحتمال.
- تحديد العناصر التي تشكل سيجما-جبرا وعلاقتها بالأحداث القابلة للقياس في عينة فضاء.
محتويات الفهرس
تعريف سيجما-جبرا
سيجما-جبرا في رمي القطع
سيجما-جبرا في الحالات المستمرة
الأحداث القابلة للقياس تظهر في مجال الاحتمالات من خلال سيجما-جبرا. من خلال هذه الفكرة، يتحول المفهوم الأولي البديهي إلى هيكل رياضي رسمي يسمح بتعريف قياس الاحتمال.
تعريف سيجما-جبرا
سيجما-جبرا \Sigma (أو σ-جبرا) هي هيكل يحتوي على جميع الأحداث القابلة للقياس في عينة فضاء. يُعتبر الزوج \Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega}) سيجما-جبرا لعينة فضاء \Omega إذا تم تحقيق الشروط التالية:
- \emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega
- \left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)
- \left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)
جميع الكائنات E\in\mathcal{A}_\Omega تسمى أحداث في \Omega.
سيجما-جبرا في رمي القطع
| المثال 1 |
بالنسبة لرمي قطعة نقدية، سيجما-جبرا معطاة بواسطة \Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m}) حيث
يُعرف كل عنصر في \mathcal{A}_{1m} كحدث على النحو التالي:
|
| المثال 2 |
إذا قمنا برمي عملتين بدلاً من عملة واحدة، يمكن الحصول على سيجما-جبرا محتملة \Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m}) من أجزاء \Omega_{2m}. وبالتالي لدينا ما يلي:
يُعتبر كل عنصر في \mathcal{A}_{2m} حدثًا في \Omega_{2m}. فيما يلي بعض أمثلة عنها:
|
سيجما-جبرا في الحالات المستمرة
| المثال 3 |
بالنسبة لفترة حياة (قياسها بالساعات) لجهاز إلكتروني قد يتلف في أي لحظة، ستكون سيجما-جبرا \Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e) على النحو التالي:
بالتالي، يمكن تفسير الفترات I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e على أنها “يعمل الجهاز الإلكتروني بشكل صحيح لفترة متتالية تبلغ t ساعة حتى يتلف.” |
سيجما-جبرا الاحتمالات المرتبطة بعينة فضاء مستمرة تعرف أيضًا باسم سيجما-جبرا بوريل وتسمى أحداثها بوريليانات.
