حدود الدوال ذات المتغير الحقيقي
ملخص:
في هذه الحصة، سنقوم بمراجعة شاملة للتعريف الرسمي لحدود الدوال ذات المتغير الحقيقي، ومن خلال ذلك سنثبت الخصائص الرئيسية التي تقود إلى جبر الحدود.
أهداف التعلم:
في نهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:
- تذكر تعريف حد الدوال ذات المتغير الحقيقي.
- إثبات الخصائص التي تقود إلى جبر الحدود من خلال استنتاجات \epsilon-\delta.
- حساب حدود الدوال ذات المتغير الحقيقي باستخدام جبر الحدود وخصائصه.
فهرس المحتويات
مقدمة
المفهوم البديهي للحد من منظور رسومي
التعريف الرسمي للحد
خصائص الحدود
إذا كان الحد موجودًا، فإنه يكون وحيدًا
جبر الحدود
حساب الحدود البسيطة
مقدمة
<ما الفرق بين دراسة الجبر والهندسة فيما يتعلق بدراسة الحساب التفاضلي؟ الجواب على هذا السؤال يعطينا مفهوم الحد. في هذه المقالة، ندرس بالتالي الحد وتعريفه.
عادةً ما نربط كلمة “حد” بنوع من الحدود، مثل حدود فترة نهايتها a وb (بغض النظر عن طبيعتها)
[a,b[\;\; ;\;\; ]a,b]\;\; ; \;\; ]a,b[\;\; ; [a,b] ,
أو مثل الحاضر، الذي يمكننا القول بأنه الحد بين الماضي والمستقبل. بشكل مشابه إلى حد ما، يُقدم مفهوم الحد الفهم الرياضي لهذه الفكرة البديهية حول الاقتراب اللانهائي من نقطة معينة.
المفهوم البديهي للحد من منظور رسومي
لبدء تصور فكرة الحد، من المناسب البدء بالتمثيل الرسومي لدالة ما ونسأل ماذا سيحدث لـ f(x) عندما يقترب x من x_0 كما نريد.
إذا كان x قريبًا من x_0، فسيكون هناك فترة مفتوحة نصف قطرها \delta ومركزها x_0 بحيث يكون x موجودًا داخلها. يمكننا تمثيل هذا بثلاث طرق مختلفة:
|x-x_0|\lt \delta,
|x\in]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ ,
أو x\in\mathcal{B}(x_0,\delta)
في سياقنا، هذه ثلاث طرق لقول الشيء نفسه؛ رغم أن الطريقة الأخيرة، التي تُقرأ على أنها “x موجود داخل الكرة المفتوحة ذات المركز x_0 ونصف القطر \delta، ستكون أكثر ملاءمة لدورة في الطوبولوجيا، حيث يتم تعمق أكثر في “موضوع القرب”.
إذا حدث هذا، فسنلاحظ أنه سيكون هناك فترة مفتوحة أخرى مركزها l ونصف قطرها \epsilon بحيث تكون f(x) موجودة داخلها، أي: |f(x) - l|\lt \epsilon.
من هنا تنبثق الفكرة الأساسية لمفهوم الحد الرياضي، الذي يوجد عندما: إذا كان 0 \lt|x-x_0|\lt \delta، فإن |f(x)-l|\lt \epsilon؛ هذا المقدار l سيكون حد الدالة عندما يقترب x من x_0 بقدر ما نريد.
التعريف الرسمي للحد
من المفهوم البديهي والرسومي الذي تم تقديمه للتو، يمكننا البدء في استنباط التعريف الرسمي للحد. نقول أن الحد موجود عندما، بغض النظر عن من يكون هذا \epsilon (أي، المسافة بين f(x) و l)، سيكون دائمًا هناك \delta بحيث إذا كان 0 \lt|x-x_0|\lt \delta، فإن |f(x) - l|\lt \epsilon. هذه الفكرة، التي يصعب استيعابها في البداية وتكون سببًا في دموع معظم طلاب الحساب التفاضلي حول العالم، يمكن تلخيصها من خلال الصيغة التالية:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=l := \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - l|\lt \epsilon\right),
خصائص الحدود
أهمية الحصول على تعريف رسمي للحد هو أنه، بناءً عليه، يمكننا إثبات خصائصه، سواء تلك التي تبدو بديهية أو غير ذلك.
قبل المتابعة، على الرغم من أنه ليس ضروريًا بشكل صارم، يُوصى بشدة بمراجعة بعض مفاهيم المنطق الرياضي لفهم إثباتات التالية بسهولة أكبر.
إذا كان الحد موجودًا، فإنه يكون وحيدًا
لإثبات هذه الخاصية، سنستخدم تقنية البرهان بالتناقض. سنبدأ بتعريف مجموعة الفرضيات التالية:
\displaystyle\mathcal{H}= \{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\}.
بناءً على هذا، يمكننا بناء البرهان الرسمي التالي:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; افتراض |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon\right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime ; افتراض |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash L \neq L^\prime ; افتراض |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); \wedge–استخلاص(1,2) |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0\right)\left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \epsilon \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \epsilon\right) \right] \right. ); التكرار(4) |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \epsilon = \frac{L - L^\prime}{2}\gt 0 ; لأن L \lt L^\prime |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \left(\exists \delta\gt 0\right) \left(0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow\right. \left. \left[ \left( |f(x) - L |\lt \frac{L - L^\prime}{2} \right) \wedge \left( |f(x) - L^\prime |\lt \frac{L - L^\prime}{2}\right) \right] \right. ); باستخدام(5,6) |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( 2 |f(x) - L |\lt L - L^\prime ) \wedge ( 2|f(x) - L^\prime |\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + L^\prime \lt 2 (f(x) - L )\lt L - L^\prime ) \wedge ( -L + ل^\prime \lt 2(f(x) - L^\prime )\lt L - L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) \wedge ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) ]) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash (\exists \delta\gt 0) (0 \lt|x-x_0|\lt\delta \rightarrow [ ( -L + 3L^\prime \lt 2f(x) \lt L + L^\prime) \wedge ( L + L^\prime \lt 2f(x) \lt 3L - L^\prime ) ]) | |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\lt L^\prime\}\vdash \bot ; من(1,2,6,7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\cup\{L\gt L^\prime\}\vdash \bot ; نفس الإجراء كما في (8) |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [(L\lt L^\prime) \vee (L\gt L^\prime)] \rightarrow \bot ; \vee-استنتاج(8,9) |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash [L\ \neq L^\prime] \rightarrow \bot ; تعريف(10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \bot ; النقطة المركزية(3,11) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime, L\neq L^\prime\right\} \vdash \bot | |
| (13) | \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash \neg(L\neq L^\prime) ; تناقض(12) |
| \displaystyle \left\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}f(x) = L^\prime \right\} \vdash L = L^\prime. |
من هذا البرهان، نستنتج أنه إذا كان هناك حدين، فهما متساويان، وبالتالي يكون الحد وحيدًا.
جبر الحدود
بما أننا استعرضنا الأساسيات حول فكرة الحد الرياضي. ولكن هذا وحده لا يكفي لإجراء الحسابات بالحدود، وبالتأكيد لن يستخدم أي شخص تعريف الحد لهذا الغرض. لحل هذه المشكلة، سنعمل الآن على التقنيات التي ستساعدنا على البدء في حساب بعض الحدود.
لنفرض أن x_0, \alpha, \beta, L, M \in \mathbb{R}, وأن تكون f وg دوال حقيقية بحيث:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x) = M
إذن، تتحقق الخصائص التالية:
حد مجموع أو فرق دالتين
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha L \pm \beta M
إثبات:
لنعتبر مجموعة الفرضيات \displaystyle\mathcal{H}=\left\{\lim_{x\to x_0} f(x) = L, \lim_{x\to x_0} g(x) = M \right\}، ومن هذه الفرضيات يمكننا بناء الاستدلال التالي:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x) = L ; افتراض |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L|\lt \epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha||f(x) - L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt |\alpha|\epsilon \right) | |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon}:= |\alpha|\epsilon ; تعريف |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L|\lt \overline{\epsilon} \right) ; من(1,2) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\alpha f(x) = \alpha L | |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}g(x) = M ; افتراض |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}\beta g(x) = \beta M ; مشابه لـ(3) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left( 0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right) | |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow \left[|\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M|\lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right] \right) ; من(3,5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \leq |\alpha f(x) - \alpha L|+ |\beta g(x) - \beta M| ; متباينة المثلث: (\forall x,y\in\mathbb{R})(|x+y|\leq |x|+|y|) |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon},\overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) - \alpha L + \beta g(x) - \beta M| \lt \overline{\epsilon}+ \overline{\overline{\epsilon}} \right) ; من(6,7) |
| (9) | \epsilon^* := \overline{\epsilon} + \overline{\overline{\epsilon}}; تعريف |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \epsilon^* \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha L - \beta M| \lt \epsilon^* \right) ; من(8,9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha L + \beta M | |
| (11) | \gamma:= - \beta; تعريف |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) + \gamma g(x)) = \alpha L + \gamma M ; مشابهة(10) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) - \beta g(x)) = \alpha L - \beta M ; من(11,12) |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} (\alpha f(x) \pm \beta g(x)) = \alpha L \pm \beta M ; من(10,13) |
>”
حد حاصل ضرب الدوال
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left( f(x) g(x) \right) = L M
هذا الإثبات أصعب قليلاً من السابق، لكنه ليس شيئاً لا يمكننا حله ببعض الحيل البسيطة. باستخدام نفس مجموعة الفرضيات \mathcal{H} من الإثبات السابق، يمكننا بناء الاستدلال التالي:
| (1) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\epsilon} := \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2} ; تعريف |
| (2) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} f(x) = L ; افتراض |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\epsilon} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} = \frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right) ; باستخدام (1) | |
| (3) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \overline{\overline{\epsilon}} := \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} \leq \frac{|\epsilon|}{2}; تعريف |
| (4) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0} g(x) = M ; افتراض |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left(\forall \overline{\overline{\epsilon}} \gt 0 \right)\left(\exists \delta \gt 0 \right)\left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} = \frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)}\right) ; باستخدام (3) | |
| (5) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)| - |L| \lt |f(x) - L| \lt \overline{\epsilon} \lt 1 ; متباينة المثلث + حالة خاصة من \overline{\epsilon} |
| (6) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)|\lt 1 + |L| ; من(5) |
| (7) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| - |M| \lt |g(x) - M| \lt \overline{\overline{\epsilon}} \lt 1 ; متباينة المثلث + حالة خاصة من \overline{\overline{\epsilon}} |
| (8) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |g(x)| \lt 1 + |M| ; من(7) |
| (9) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)g(x) - Mf(x) + Mf(x) - LM |; جمع صفر |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|=| f(x)(g(x) - M) + M (f(x) - L) |; التحليل | |
| (10) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq | f(x)(g(x) - M)| + | M (f(x) - L) |; متباينة المثلث(9) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\leq |f(x)||g(x) - M| + |M| |f(x) - L| | |
| (11) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash |f(x)g(x) - LM|\lt (1 + |L|)|g(x) - M|+ |M|\overline{\epsilon}; من(5,6,10) |
| (12) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\overline{\overline{\epsilon}} + |M|\overline{\epsilon}\right]; من(11) |
| (13) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt (1+|L|)\frac{|\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\frac{|\epsilon|}{2(|M|+1)}\right]; من(1,3,12) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\overline{\epsilon} \lt \frac{|\epsilon|}{2} + \frac{|\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \lt \frac{|\epsilon|}{2}+ \frac{|\epsilon|}{2} = |\epsilon| \right] | |
| (14) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash \left[ |g(x) - M|\lt \overline{\overline{\epsilon}} \right] \rightarrow \left[ |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \right]; من(11,13) |
| (15) | \displaystyle \mathcal{H}\vdash (\forall \epsilon \gt 0 ) (\exists \delta \gt 0 ) \left(0 \lt |x-x_0|\lt \delta \rightarrow |f(x)g(x) - LM|\lt |\epsilon| \leq \epsilon \right) ; من(1,2,4,14) |
| \displaystyle \mathcal{H}\vdash \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) = LM. |
حد الدالة الثابتة
حد الدالة الثابتة f(x)=c هو الثابت c. بمعنى
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c
البرهان
البرهان على هذا في الواقع بسيط، لأنه في الحقيقة يتعلق بتعريف بديهي. من المعروف أن:
\displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c := (\forall\epsilon\gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt|x-x_0|\lt \delta \rightarrow |c-c|\lt \epsilon)
لكن يحدث أن 0=|c-c|\lt \epsilon هو تعريف بديهي لأي قيمة موجبة لـ “إبسيلون”، وبالتالي تكون النتيجة أيضًا بديهية، وبناءً على ذلك، التعبير \displaystyle \lim_{x\to x_0}c = c هو أيضًا بديهي.
حد ناتج قسمة الدوال
الآن نحن في وضع يمكننا من إثبات قاعدة حد ناتج قسمة دالتين. هذه القاعدة هي
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{L}{M}
حيث، مثلما هو الحال مع الخصائص السابقة، نفترض أن مجموعة الفرضيات
\displaystyle \mathcal{H}=\{\lim_{x\to x_0}f(x) = L, \lim_{x\to x_0}g(x) = M\}
البرهان
لحسن الحظ، لن نحتاج إلى إجراء المزيد من البراهين مثل التي قمنا بها سابقًا، لأننا يمكننا الآن استخدام هذه النتائج مباشرة لتحقيق أهدافنا. ولكن قبل ذلك، دعونا نثبت أولاً أن
\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
لإثبات ذلك، يكفي استخدام قاعدة حد ناتج حاصل ضرب وحد الدالة الثابتة مجتمعة، فقط علينا أن نكون حذرين في أن g(x) لا تكون صفرًا:
\displaystyle 1 = \lim_{x\to x_0}\left( 1 \right) \lim_{x\to x_0}\left( g(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \lim_{x\to x_0}g(x) \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = M \cdot \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)}
وبالتالي: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}
وأخيراً، من خلال قاعدة حد حاصل ضرب الدوال:
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} f(x) \frac{1}{g(x)}= L \cdot\frac{1}{M} = \frac{L}{M}
سيتحقق هذا دائمًا طالما أن M ليس صفرًا.
حد القوة الطبيعية
هذه الخاصية تقول لنا أنه، إذا \displaystyle \lim_{x_0 \to x_0}f(x) = L، فإن ذلك يعني \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right). يمكننا إثبات ذلك باستخدام الاستقراء الرياضي.
البرهان:
- الحالة n=1: (الخطوة الأولى)
\displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^1 = \lim_{x\to x_0} f(x) = L. وهذا ينهي الخطوة الأولى ✅
- الحالة n=k: (خطوة الاستقراء)
بافتراض أن \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^k = L^k (فرضية الاستقراء)، نتحقق من أن \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} صحيحة.
نجد أن: \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \lim_{x\to x_0} \{f(x) [f(x)]^k\} = \lim_{x\to x_0}f(x) \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k}. هذا باستخدام قاعدة حد ناتج حاصل ضرب الدوال المثبتة سابقًا.
ثم، بناءً على فرضية الاستقراء، نجد أن \displaystyle \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \lim_{x\to x_0} [f(x)]^{k} =L\cdot L^k = L^{k+1}. هذا ينهي خطوة الاستقراء ✅
- وبالتالي: \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left( [f(x)]^n \right) = L^n \right).
حد الجذر النوني
بشكل مشابه للقوة، يتحقق أن \displaystyle \left(\forall n \in \mathbb{N}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L} \right)
البرهان:
باستخدام قاعدة القوة التي قمنا بإثباتها مسبقًا نجد أن
\displaystyle L= \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0} \left[\sqrt[n]{f(x)}\right]^n = \left[ \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)}\right]^n
وبالتالي: \displaystyle \lim_{x\to x_0} \sqrt[n]{f(x)} =\sqrt[n]{L}.
حد القوى الكسرية
باستخدام القواعد المستخلصة من البراهين السابقة يمكننا الوصول إلى البرهان الأخير، وهو: \displaystyle \left(\forall p,q\neq 0 \in \mathbb{Z}\right) \left( \lim_{x\to x_0} \left[f(x)\right]^{\frac{p}{q}} = L^{\frac{p}{q}} \right). . يتم الحصول عليه بفضل قاعدة ناتج حاصل ضرب الدوال لأن \displaystyle [f(x)]^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{f(x)}]^p و \displaystyle L^{\frac{p}{q}} =[\sqrt[q]{L}]^p.
حد \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0
مع هذا البرهان نختم سلسلة هذه البراهين، ومع البراهين السابقة سنكون قادرين من الآن فصاعدًا على حساب العديد من الحدود بشكل شبه بديهي.
من السهل إثبات أن \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0، لأنه لكي يتحقق هذا، يجب أن:
(\forall \epsilon \gt 0) (\exists \delta \gt 0)(0\lt |x-x_0|\lt \delta\rightarrow |x-x_0|\lt \epsilon)
وفقًا لتعريف الحد، يجب أن يكون هناك دائمًا على الأقل دلتا واحدة لأي قيمة إبسيلون بحيث تحقق جميع الشروط الأخرى؛ وبذلك يكفي إيجاد واحدة للتحقق من أن الحد هو كما يُفترض أن يكون. لكن هذا في الواقع أمر واضح، لأنه يكفي ملاحظة أن أي \delta\leq\epsilon يحقق هذا الشرط. وبالتالي: \displaystyle \lim_{x\to x_0}x = x_0.
حساب الحدود البسيطة
بفضل جميع هذه النظريات التي قمنا بمراجعتها للتو يمكن حساب مجموعة كبيرة من الحدود بطريقة بديهية، كما لو أننا نقوم فقط بتقييم الدالة. هنا يمكنك مشاهدة بعض الأمثلة:
- {}\\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2 + 4x) & = \displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2) + \lim_{x\to 2}(4x) \\ \\ & = \displaystyle \left(\lim_{x\to 2} x \right)^2 + 4\lim_{x\to 2} x \\ \\ & = (2)^2 + 8 = 12 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1}\left.\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \right. & = \displaystyle \frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\ \\ & = \displaystyle \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{x^2 - 4} &= \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{x+2} = \dfrac{1}{4} \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3-x^3}{h} &= \displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\ \\ & = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{3x^3 h + 3xh^2}{h} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{h\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2 \end{array}
- {} \\ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &=\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\ \\ & =\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\ \\ & =\displaystyle \frac{2+2}{2} =2 \end{array}