جبر كثيرات الحدود للأعداد الحقيقية

ملخص:
في هذه الحصة، سنستكشف جبر كثيرات الحدود، تعريفه، خصائصه وتطبيقاته. كثيرات الحدود هي جزء أساسي من الرياضيات ولها تطبيقات واسعة في مختلف التخصصات.

أهداف التعلم

عند الانتهاء من هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

1. تعريف وفهم كثيرات الحدود وخصائصها.
2. تحديد درجة ومعاملات كثير الحدود.
3. إجراء العمليات الجبرية مع كثيرات الحدود وتطبيق خصائصها في سياقات رياضية.

فهرس المحتويات:

1. جبر كثيرات الحدود: التعريفات
2. أنواع كثيرات الحدود
3. جبر كثيرات الحدود: العمليات
4. تحليل وتقسيم كثيرات الحدود

1. جبر كثيرات الحدود: التعريفات

لفهم جبر كثيرات الحدود، يجب أن نعرف أولاً ما هي كثيرات الحدود. كثيرات الحدود هي دوال جبرية. إذا كانت $x$ متغيرًا حقيقيًا، فإن الدالة $P(x)$ تعتبر كثير حدود إذا كان يمكن كتابتها بالشكل:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

حيث $n$ هو عدد صحيح غير سالب وجميع $a_i$ ، مع $i\in\{1,2,3,\cdots,n\},$ هي معاملات حقيقية. إذا كان هناك $k$ بحيث $a_k\neq 0$ وعندما $k\lt i$ ، يحدث أن $a_i=0$ ، فإن هذا القيمة $k$ تعتبر درجة كثير الحدود. بعبارة أخرى، درجة كثير الحدود هي أكبر قوة ترافق معامل غير صفري.

2. أنواع كثيرات الحدود

تصنف كثيرات الحدود حسب درجتها؛ لهذا السبب، عندما يُذكر كثير حدود، يُقال عادةً أنه كثير حدود من الدرجة $k$ ، عندما تكون $k$ أكبر قوة لـ $x$ ترافق المعامل غير الصفري لهذا كثير الحدود.

2.1. كثيرات الحدود الثابتة

هي العائلة التي تشمل جميع كثيرات الحدود من الدرجة الصفرية وكثير الحدود الصفري. نقول أن كثير الحدود هو من الدرجة الصفرية، إذا كان يمكن كتابته بالشكل $P(x)=c,$ مع $c\neq 0.$ من ناحية أخرى، يكون كثير الحدود الصفري بالشكل $P(x) = 0$ ولا تُعرّف له درجة.

3. جبر كثيرات الحدود: العمليات

ترث كثيرات الحدود جميع خصائصها من جبر الأعداد الحقيقية. الخصائص التوزيعية والتجميعية هي ذات أهمية خاصة.

3.1. الجمع والطرح

إذا كان $P$ و $Q$ هما كثيرات الحدود من الدرجة $n$ و $m$ على التوالي، مع

$m=n+k$ و $0\leq k,$

فسيكون لدينا:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

أي أن المعاملات المصاحبة لنفس قوى $x$ تُجمع أو تُطرح، حسب الحالة.

مثال:
إذا كان $P(x) = 3+5x+2x^2$ و $Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5$ ، فإن:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. الضرب

في نفس السياق كما هو الحال في جمع وطرح كثيرات الحدود، ستتطور ضرب كثيرات الحدود على النحو التالي:

أولاً نميز الضرب بواسطة عدد ثابت. إذا كان $c \in \mathbb{R},$ فسيكون لدينا:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

ثم لدينا ضرب بين كثيرات الحدود:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

هذا هو ما نلخصه من خلال العبارة “مجموع جميع المنتجات”.

مثال:
إذا كان $P(x) = 4x+ 2x^2-x^4$ و $Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3,$ فإن:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. تحليل وتقسيم كثيرات الحدود

عند ضرب كثيرتين حدود، نحن نقوم بانتقال من كثيرتين حدود بسيطتين إلى أخرى أكثر تعقيدًا (ذات درجة أعلى). عند تحليل كثير الحدود، نتبع العملية العكسية: نحول كثير حدود معقد إلى حاصل ضرب كثيرتين حدود أبسط.

لتحليل كثير الحدود $P(x),$ يجب إيجاد قيم $x$ التي تجعله يساوي الصفر؛ إذا كانت هذه القيم موجودة، فإن كثير الحدود قابل للتحليل. الحديث عن الوجود ممكن، ولكن إيجادها هو قصة مختلفة. سنراجع هذا الموضوع بمزيد من التفصيل عند دراسة تحليل كثيرات الحدود التربيعية و(2n)التربيعية.

4.1. المنتجات الخاصة

ومع ذلك، هناك حالات يكون فيها التحليل بسيطًا،
مثل المنتجات الخاصة. بعض هذه النتائج هي كما يلي:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4. خوارزمية القسمة

كما هو الحال عند ضرب الأعداد الصحيحة نحصل على الأعداد المركبة واستخدام خوارزمية القسمة عندما يكون الباقي صفر، يحدث شيء مشابه مع كثيرات الحدود. شرح خوارزمية القسمة “بالنص” قد يكون معقدًا بعض الشيء، من الأسهل بكثير فهمها بمشاهدة كيفية القيام بذلك مباشرة وفي أي حالات تؤدي الخوارزمية إلى التحليل. لتحقيق ذلك، سنراجع بعض الأمثلة.

مثال: حساب $P(x):Q(x)$ للحالات التالية:

$P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1,$ $Q(x)=x-1$
[الحل]
$P(x)=x^4+2x^3-x+1,$ $Q(x)=x^2-4$
[الحل]
$P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1,$ $Q(x)=x^2+x+1$
[الحل]
$P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1,$ $Q(x)=x^3-2x^2+1$
[الحل]