تعرّف على الفضاء العيني في نظرية الاحتمالات
ملخص
في هذا الدرس نتناول مفهوم فضاء الاحتمالات، وهو هيكل رياضي يتألف من فضاء عيني، سيغما-جبر وقياس احتمال. يتم فحص الفضاء العيني بالتفصيل، وهو مفهوم يُعرف بأنه مجموع كل الحالات الممكنة لعملية عشوائية. من خلال أمثلة عملية، نوضح بناء الفضاءات العينية المنفصلة والمستمرة، ونشرح كيف يتم من خلالها بناء الأحداث القابلة للقياس وحساب قياسات الاحتمال. هذا الدرس أساسي لفهم أسس نظرية الاحتمالات ووضع الأساس لتطبيقها في مجالات مختلفة.
أهداف التعلم:
عند اكتمال هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:
- فهم مفهوم فضاء الاحتمالات.
- تحديد العناصر التي تشكل فضاء الاحتمالات.
- التمييز بين الفضاءات العينية المنفصلة والمستمرة.
- بناء فضاءات عينية منفصلة ومستمرة.
فهرس المحتويات
فضاء الاحتمالات
أمثلة على الفضاءات العينية
الفضاءات العينية المنفصلة والمستمرة
فضاء الاحتمالات
تقوم نظرية الاحتمالات على أساس يُسمى فضاء الاحتمالات. هذا هيكل رياضي يتألف من: (أ) فضاء عيني \Omega، (ب) سيغما-جبر \Sigma و(ج) قياس احتمال P. لبناء فضاء الاحتمالات سنراجع أولاً مفهوم الفضاء العيني.
يتكون اجتماع كل الحالات الممكنة \omega لـعملية عشوائية من مجموعة غير فارغة \Omega نسميها الفضاء العيني.
أمثلة على الفضاءات العينية
| مثال 1 |
| عند إلقاء عملة في الهواء، لدينا نتيجتان محتملتان: وجه (C) وكتف (S). لذلك، سيكون الفضاء العيني هو \Omega_{1m}=\{C,S\} |
| مثال 2 |
| إذا تم تكرار التجربة السابقة، ولكن الآن مع إلقائين، سنحصل على: \Omega_{2m}=\{(C,C);(C,S);(S,C);(S,S)\} أي جميع الطرق الممكنة لترتيب الوجه والكتف في مجموعات من اثنين. |
| مثال 3 |
| إلقاء نرد ذو 6 أوجه يكون له الفضاء العيني التالي: \Omega_{1d6}=\{1,2,3,4,5,6\} أي الرقم الموجود على كل وجه من أوجهه. |
| مثال 4 |
| عمر جهاز كهربائي (مقاس بالساعات) له فضاء عيني يمكن تمثيله بالشكل \Omega_{ae}=\{t\in \mathbb{R} \;|\; t\geq 0\} أي أن عمر الجهاز هو رقم t ضمن الفترة [0,+\infty[ |
الفضاءات العينية المنفصلة والمستمرة
بناءً على هذه الأمثلة، يمكننا التمييز بين نوعين من الفضاءات العينية، هي الفضاءات المنفصلة والمستمرة. الفضاءات العينية المنفصلة هي تلك التي تتكون من مجموعات محدودة، كما في الأمثلة الثلاثة الأولى، على الرغم من أنها يمكن أن تكون أيضًا لا نهائية وقابلة للعد (مثل أي جزء فرعي من \mathbb{N}). من ناحية أخرى، الفضاءات العينية المستمرة هي مجموعات لا نهائية وغير قابلة للعد؛ وعادة ما تمثل عبر الفترات الفرعية من \mathbb{R}.
من عناصر الفضاء العيني (الحالات الممكنة) يتم بناء الأحداث القابلة للقياس (أشياء من سيغما-جبر) لفضاء الاحتمالات، وعلى هذه الأشياء يتم حساب قياسات الاحتمال.