المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال
ملخص
تقدم هذه الحصة غوصًا عميقًا في مفاهيم المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال، وهي أعمدة أساسية في نظرية الاحتمالات والتحليل الإحصائي. يتم تقديم تعريف المتغير العشوائي كرقم يعتمد على نتيجة تجربة عشوائية. يتم تناول دالة توزيع المتغير العشوائي، مع إبراز أهميتها وكذلك خصائصها الأساسية. أخيرًا، يتم تحليل العلاقة بين المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال، موضحًا أن متغيرين يمكن أن يكون لهما نفس التوزيع دون أن يكونا نفس المتغير العشوائي.
أهداف التعلم:
في نهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:
- فهم مفهوم المتغيرات العشوائية: يجب أن يكون الطلاب قادرين على وصف وشرح ما هي المتغيرات العشوائية وكيفية تعريفها رياضيًا.
- فهم مفهوم توزيعات الاحتمال: يجب أن يكون الطلاب قادرين على شرح ما هي توزيعات الاحتمال وكيفية تمثيلها.
- وصف خصائص توزيعات الاحتمال: يجب أن يكون الطلاب قادرين على التعرف على وشرح الخصائص الرئيسية لتوزيعات الاحتمال.
- تحليل العلاقة بين المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال: يجب أن يكون الطلاب قادرين على مناقشة كيف ترتبط المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال، وكيف يمكن أن يكون لمتغيرين نفس التوزيع دون أن يكونا نفس المتغير العشوائي.
- إثبات وتطبيق خصائص توزيعات الاحتمال في المواقف العملية: يجب أن يكون الطلاب قادرين على إثبات الخصائص الرياضية لتوزيعات الاحتمال وتطبيق هذه الخصائص في مواقف حقيقية.
- فهم مفهوم دوال التوزيع: يجب أن يكون الطلاب قادرين على وصف ما هي دالة التوزيع وكيفية استخدامها لوصف المتغير العشوائي.
فهرس المحتويات:
ما هي المتغيرات العشوائية؟
ما هي توزيعات الاحتمال؟
خصائص توزيعات الاحتمال
العلاقة بين المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال
أحد المفاهيم الرئيسية في نظرية الاحتمالات والتحليل الإحصائي هو مفهوم المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال. على الرغم من أن النظرية التي قمنا بتطويرها حتى الآن هي بشكل ما “كاملة”، إلا أنها في الوضع الحالي بدائية نوعًا ما؛ المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال هي، إن صح القول، مفاهيم تتيح لنا “تحسين قدرتنا على العمل مع الاحتمالات وإجراء التحليل الإحصائي”.
ما هي المتغيرات العشوائية؟
لتعريف مفهوم المتغير العشوائي، من المفيد البدء بنهج بديهي: يمكن تفسير المتغير العشوائي كـ “رقم يعتمد على نتيجة تجربة عشوائية”. ومع ذلك، للحصول على فهم أدق، من الضروري أيضًا استكشاف تعريفه الرسمي. دعونا نرى هذا التعريف:
تعريف: المتغير العشوائي على مجموعة \mathcal{X} هو دالة f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
الحالة الأكثر شيوعًا هي عندما \mathcal{X}= \mathbb{R}, و، ما لم يُذكر خلاف ذلك، هذا هو ما سنفترضه من الآن فصاعدًا؛ أي أننا سنعمل مع متغيرات عشوائية ذات قيم حقيقية. عادةً ما يتم استخدام الأحرف الكبيرة للدلالة على المتغيرات العشوائية، مثل X,Y,Z, \cdots,، بينما تُستخدم الأحرف الصغيرة للدلالة على الثوابت. لتبسيط الأمور، سنشير إلى المتغيرات العشوائية ببساطة على أنها “متغيرات”.
مثال: لنفترض أن نرمي نرد ذو 6 أوجه مرتين. في هذه الحالة سنحصل على: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} من هذا، يمكننا تعريف المتغيرات العشوائية التالية:
|
ما هي توزيعات الاحتمال؟
تعريف: دالة التوزيع (أو “FD”) للمتغير العشوائي X هي دالة F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} معرفة بالعلاقة F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), أو باختصار: P(X\leq x). |
بشكل عام، ما يهم في المتغير العشوائي ليس تعبيره الصريح في فضاء العينة \Omega، بل دالة توزيعه. يمكن حذف المؤشر X في F_X إذا كان السياق واضحًا ولا يوجد غموض. من الشائع استخدام الرموز X\sim F للإشارة إلى أن المتغير العشوائي X لديه دالة توزيع F.
خصائص توزيعات الاحتمال
إذا كانت F دالة توزيع الاحتمالات و a,b هما أي عددين حقيقيين، فستتحقق الخصائص التالية:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), أي أن “F تزايدية”.
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 و \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| برهان (a) لتكن A و B هما الأحداث \{X\leq a\} و \{X\leq b\} على التوالي، حيث a\lt b. إذا تحقق كل هذا، فإن A\subseteq B وبالتالي: \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) من الجزء (a) يتبين: بما أن P(B\setminus A)\geq 0, فإن: F(b) - F(a) \geq 0 وهو نفس الشيء بقولنا: F(a) \leq F(b) (c) هنا سنستخدم حقيقة أن F دالة تزايدية (ثبت ذلك في (b)) ومحددة بأقصى قيمة “1” (لأن التوزيع يعرف من حيث الاحتمال). فقط بهذا يكفي أن نقول: \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 نهج تكميلي لهذا يسمح لنا بإجراء الحسابات التالية بنفس النتيجة. لنحدد المجموعة A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. من هذا سهل التحقق أنه، لكل n يحدث A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega وبالتالي، باستخدام خاصية الاستمرارية سنحصل على: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) أي: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} بالمقابل، للحد حيث x\to -\infty، لدينا ما يلي: أولاً لنحدد المجموعة B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. من هذا يتحقق: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) يتبع نفس منطق الجزء (c). نبدأ بتحديد المجموعة \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} من هذا لدينا C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} لذلك، باستخدام نتيجة خاصية الاستمرارية نحصل على: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) الحالة الأخيرة تأتي من النتيجة السابقة. في الواقع، بما أننا أثبتنا \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) يمكننا أن نكتب \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
العلاقة بين المتغيرات العشوائية وتوزيعات الاحتمال
يقال إن متغيرين X و Y لهما نفس توزيع الاحتمال إذا (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
يمكن أن يكون لمتغيرين X و Y معرفين على نفس فضاء العينة \Omega نفس التوزيع دون أن يكونا نفس المتغير العشوائي. على سبيل المثال، إذا اعتبرنا تجربة رمي عملة متوازنة ذات وجهين و X=1 يمثل الوجه و X=0 يمثل النقش، يمكن تعريف المتغير العشوائي Y=1-X وسنحصل على P(X=1) = P(Y=1)=0.5, وأن كلاهما لهما نفس التوزيع، ولكن إذا حسبنا احتمال أن يكون لهما نفس القيمة سنحصل على P(X=Y)=0