الكمال والموثوقية في المنطق الاقتراحي
الملخص
تناقش هذه الحصة العلاقة بين الكمال والموثوقية في المنطق الاقتراحي. على الرغم من أنه قد تم مناقشة تقنيات الاستدلال ودلالات المنطق الاقتراحي بشكل واسع، إلا أنه تم إيلاء القليل من الاهتمام للعلاقة بين هذين الجانبين. الموثوقية تشير إلى خاصية النظام المنطقي حيث يمكن اشتقاق التعبير G من مجموعة من التعبيرات Γ، وبالتالي فإن G هو نتيجة (دلالية) لـ Γ. من ناحية أخرى، الكمال يشير إلى خاصية النظام المنطقي حيث إذا كان G هو نتيجة دلالية لمجموعة من التعبيرات Γ، فإن هناك إثباتًا رسميًا يحتوي على Γ كافتراضات يمكن من خلاله استنتاج G. يثبت أن المنطق الاقتراحي موثوق وكامل، ويتم تقديم شرح مفصل لكل خاصية. بشكل خاص، يُظهر كيف يتم اشتقاق الموثوقية من تكوين النظام الاستدلالي للمنطق الاقتراحي، وكيف يتم استنتاج الكمال بطريقة بسيطة. هذا التحليل له أهمية كبيرة لفهم كيفية عمل المنطق الاقتراحي وتطبيقه بشكل فعال في مجالات مختلفة من المعرفة.
أهداف التعلم:
بنهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:
- التمييز بين الموثوقية والكمال في نظام منطقي.
- تطبيق جدول الحقيقة لبديهيات Łukasiewicz لإثبات موثوقية المنطق الاقتراحي.
- شرح كيفية إعادة كتابة القاعدة المنطقية باستخدام النسخة الدلالية لنظرية الاستدلال.
- فهم أن الموثوقية والكمال مرتبطان ويمكن استنتاجهما من بعضهما البعض.
- تحليل مفهوم الحقيقة المطلقة وعلاقته بالنظريات في المنطق الاقتراحي.
الفهرس
الكمال والموثوقية في المنطق الاقتراحي
المنطق الاقتراحي موثوق
المنطق الاقتراحي كامل
الكمال والموثوقية في المنطق الاقتراحي
في هذه النقطة، حان الوقت للحديث عن الكمال والموثوقية في المنطق الاقتراحي. يتبين أن الكثير قد قيل حتى الآن حول تقنيات الاستدلال ودلالات المنطق الاقتراحي، ولكن تم تقديم هذه المفاهيم بطريقة تجعلها تبدو كما لو كانت وجهتين مستقلتين تمامًا دون أي علاقة بينهما. الواقع هو العكس تمامًا.
الموثوقية: من ناحية، يقال إن النظام المنطقي موثوق عندما يمكن استنتاج التعبير G من مجموعة من التعبيرات \Gamma، وبالتالي G هو نتيجة (دلالية) لـ \Gamma |
الكمال: من ناحية أخرى، يقال إن النظام كامل إذا كان G نتيجة دلالية لمجموعة من التعبيرات \Gamma، فإن هناك إثباتًا رسميًا يحتوي على \Gamma كافتراضات يمكن من خلاله استنتاج G. |
من خلال مراجعة هذه الأفكار، سنرى أن الكمال والموثوقية يتحققان في المنطق الاقتراحي.
المنطق الاقتراحي موثوق
من السهل الحصول على موثوقية المنطق الاقتراحي من خلال مراقبة تكوين نظامه الاستدلالي. إذا قمنا بإعداد جدول الحقيقة لبديهيات Łukasiewicz، سنرى أنها تحتوي على بنية تجعل قيمتها الحقيقية دائمًا صحيحة، أي:
| \models (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha)) |
| \models ((\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma))\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma))) |
| \models ((\neg\beta \rightarrow \neg\alpha)\rightarrow(\alpha \rightarrow \beta)) |
وبالمثل، يمكن إعادة كتابة القاعدة المنطقية \{\alpha,(\alpha\rightarrow \beta)\}\models \beta. باستخدام النسخة الدلالية لنظرية الاستدلال. في الواقع، من خلال هذه الطريقة نحصل على \{(\alpha\rightarrow \beta)\}\models (\alpha\rightarrow \beta), ثم \models ((\alpha\rightarrow \beta)\rightarrow (\alpha\rightarrow \beta)), والتي بالطبع هي حقيقية بالبداهة.
المنطق الاقتراحي كامل
الكمال في المنطق الاقتراحي يخبرنا أنه، إذا كانت B نتيجة دلالية لـ A، فإنه يتم استنتاج B من A. بعبارة أخرى: جميع التعبيرات الصحيحة لديها إثبات. هذا ما نسميه الكمال. يمكن استنتاج ذلك بطريقة بسيطة.
يمكن استنتاج ذلك بطريقة بسيطة. افترض أن B لا يمكن استنتاجها من A، أو بعبارة أخرى \neg(A\vdash B)، وفقًا لنظرية الاستدلال هذا يعادل القول: \neg (\vdash A\rightarrow B)؛ الآن، إذا لجأنا إلى الموثوقية، فهذا يقودنا إلى \neg(\models A \rightarrow B)، والذي وفقًا لنظرية الاستدلال (النسخة الدلالية) يعادل \neg(A\models B). باختصار، ما نحصل عليه هو:
\neg(A\vdash B) \Rightarrow \neg(A\models B)
وهذا يعادل القول
(A\models B) \Rightarrow (A\vdash B)
هذا يعني أنه إذا كانت A نموذجًا لـ B، فإن B يتم استنتاجها من A. وإذا استخدمنا النظريات الاستدلالية المقابلة، يمكننا الحصول على
(\models A\rightarrow B) \Rightarrow (\vdash A \rightarrow B)
بمعنى: إذا كان التعبير حقيقيًا، فإنه يعتبر نظرية؛ وكما رأينا، النظريات هي نتيجة الإثبات.