الصياغة التجريبية للغاز المثالي
هل تساءلت يومًا لماذا يتمدد البالون عند تسخينه أو لماذا يتغير ضغط الإطار عند تغيير الارتفاع؟ في هذه الدرس سنراجع القوانين التي تحكم هذه السلوكيات وكيفية أن ذلك يؤدي إلى معادلة الغازات المثالية، مع ملاحظاتها ونقاطها المهمة.
أهداف التعلم
عند انتهاء هذا الدرس سيكون الطالب قادرًا على:
- شرح القوانين التجريبية للغازات المثالية (بويـل–ماريـوت، تشارلز، جاي لوساك) وتكاملها في معادلة الحالة (PV = nRT، PV = N k_B T).
- تطبيق معادلة الغازات المثالية والعلاقة PV/T = cte لحل التغيرات في الحالة بوحدات متسقة.
- تحليل العمليات متساوية الحرارة ومتساوية الضغط ومتساوية الحجم ومساراتها في المخططات P–V، V–T وP–T.
- تمييز نطاق صلاحية نموذج الغاز المثالي واختيار النماذج البديلة (فان دير فالس، الكمي، النسبي) عند الاقتضاء.
فهرس المحتويات
القوانين التجريبية الأساسية
دمج القوانين في معادلة الغازات المثالية
الاستنتاجات حسب العمليات
ملاحظات وخلفية مجهرية
نطاق الصلاحية والقيود
ملاحظات عملية
القوانين التجريبية الأساسية
تُظهر التجارب التي أُجريت على الغازات وجود علاقة بين الضغط P والحجم V ودرجة الحرارة T. في ظروفٍ مضبوطة، تُلاحظ ثلاث قوانين تجريبية أساسية:
- قانون بويل–ماريـوت (متساوي الحرارة): في عملية عند درجة حرارة ثابتة، يكون الحجم والضغط للغاز متناسبين عكسيًا، أي:P \propto \dfrac{1}{V}\quad\Leftrightarrow\quad PV=\text{cte.}مثال: غاز عند ضغط ابتدائي P_1 = 15\ \mathrm{MPa} يتمدد حراريًا عند درجة حرارة ثابتة من حجم ابتدائي V_1 = 1{,}00\ \mathrm{L} إلى حجم نهائي V_2 = 2{,}00\ \mathrm{L}، مما يؤدي إلى انخفاض ضغطه إلى النصف. بما أن حاصل PV=\text{cte.} ثابت، فإن العلاقة P_1 V_1 = P_2 V_2 تتحقق، مما يؤدي إلى:
P_2 = \dfrac{P_1 V_1}{V_2} = 15\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{1{,}00\ \mathrm{L}}{2{,}00\ \mathrm{L}}\right) = 7{,}50\ \mathrm{MPa}
- قانون تشارلز (متساوي الضغط): في عملية عند ضغط ثابت، يكون الحجم ودرجة الحرارة للغاز متناسبين طرديًا، أي:V \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{V}{T}=\text{cte.}مثال: غاز عند درجة حرارة ابتدائية T_1 = 300\ \mathrm{K} يُسخن عند ضغط ثابت حتى T_2 = 450\ \mathrm{K}، مبتدئًا من حجم V_1 = 2{,}00\ \mathrm{L}، سيرتفع حجمه بنسبة 50 % (عامل \tfrac{3}{2}). وبما أن \tfrac{V}{T}=\text{cte.}، فإن العلاقة \dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2} تتحقق، مما يؤدي إلى:
V_2 = V_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 2{,}00\ \mathrm{L}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 3{,}00\ \mathrm{L}
- قانون جاي-لوساك (متساوي الحجم): في عملية عند حجم ثابت، يكون الضغط ودرجة الحرارة للغاز متناسبين طرديًا، أي:P \propto T \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{P}{T}=\text{cte.}مثال: غاز عند درجة حرارة ابتدائية T_1 = 300\ \mathrm{K} يُسخن عند حجم ثابت حتى T_2 = 450\ \mathrm{K} مبتدئًا من ضغط ابتدائي P_1 = 1{,}00\ \mathrm{MPa}، سيرتفع ضغطه بنفس النسبة. وبما أن \tfrac{P}{T}=\text{cte.}، فإن العلاقة \dfrac{P_1}{T_1}=\dfrac{P_2}{T_2} تتحقق، مما يؤدي إلى:
P_2 = P_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 1{,}00\ \mathrm{MPa}\left(\dfrac{450\ \mathrm{K}}{300\ \mathrm{K}}\right) = 1{,}50\ \mathrm{MPa}
دمج القوانين في معادلة الغازات المثالية
يمكن تلخيص هذه القوانين الثلاثة في علاقة تناسب واحدة:
PV \propto T
حيث يمكن، انطلاقًا من الاعتبارات التجريبية والمجهرية، استنتاج ثابت التناسب كنتيجة لحاصل ضرب عدد الجسيمات N وثابت بولتزمان k_B = 1{,}380\,649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}، فنحصل على العلاقة المجهرية:
\boxed{PV = N\,k_B\,T}
وبطريقة مماثلة، من حيث المولات، يُستنتج ثابت التناسب كحاصل ضرب عدد المولات n والثابت العام للغازات R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}، فنحصل على العلاقة المولية:
\boxed{PV = n\,R\,T}
بغض النظر عن الحالة، من المؤكد أن هناك علاقة تناسب مباشرة بين حاصل الضرب PV و T، وهو ما يعادل القول إن الغاز المثالي الذي ينتقل بين حالتين، واحدة بقيم ابتدائية (P_\alpha, V_\alpha, T_\alpha) وأخرى بقيم نهائية (P_\omega, V_\omega, T_\omega)، يحقق العلاقة:
\dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega}
وبالتالي PV/T = cte.
يمكن استخدام هذه العلاقة كأساس تجريبي لصياغة كل من العلاقة المجهرية والمولية، ويمكن استنتاجها مباشرة من القوانين التجريبية لبويـل-ماريـوت، تشارلز وجاي-لوساك. ويُعرض المنطق كما يلي:
يمكننا إثبات ذلك عبر ثلاث طرق:
- تغير الحجم بعد عملية متساوية الحرارة وعملية متساوية الضغط
- تغير الضغط بعد عملية متساوية الحرارة وعملية متساوية الحجم
- تغير درجة الحرارة بعد عملية متساوية الضغط وعملية متساوية الحجم
لتطوير هذه الحالات الثلاث سنحتاج إلى حالة وسيطة بقيم (P_i,V_i,T_i)
الاستنتاجات حسب العمليات
الاستنتاج من تغير الحجم
إذا كانت الحالة الابتدائية (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) متصلة بالحالة الوسيطة (P_i,V_i,T_i) من خلال عملية متساوية الحرارة، ثم تتصل الحالة الوسيطة بالحالة النهائية (P_\omega,V_\omega,T_\omega) عبر عملية متساوية الضغط، فإننا نحصل على:
\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & V_i/T_i = V_\omega/T_\omega & \\ &\text{متساوي الحرارة}& &\text{متساوي الضغط} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = P_i \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = \dfrac{V_i T_\omega}{T_i} \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}
من هذا نحصل على:
\begin{array}{rl} & V_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) V_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{P_\alpha}{P_i} \right) V_\alpha = \dfrac{T_\omega P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha P_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}
الاستنتاج من تغير الضغط
إذا كانت الحالة الابتدائية (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) متصلة بالحالة الوسيطة (P_i,V_i,T_i) من خلال عملية متساوية الحرارة، ثم تتصل الحالة الوسيطة بالحالة النهائية (P_\omega,V_\omega,T_\omega) عبر عملية متساوية الحجم، فإننا نحصل على:
\begin{array}{rclcl} & P_\alpha V_\alpha= P_i V_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{متساوي الحرارة}& &\text{متساوي الحجم} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{V_i} & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{P_i} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = T_\alpha & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{V_\omega T_i}{V_i} \end{array}
من هذا نحصل على:
\begin{array}{rl} & P_\omega = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) P_i = \left(\dfrac{T_\omega}{T_i}\right) \left(\dfrac{V_\alpha}{V_i}\right)P_\alpha = \dfrac{T_\omega V_\alpha P_\alpha}{T_\alpha V_\omega} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}
الاستنتاج من تغير درجة الحرارة
إذا كانت الحالة الابتدائية (P_\alpha,V_\alpha,T_\alpha) متصلة بالحالة الوسيطة (P_i,V_i,T_i) من خلال عملية متساوية الضغط، ثم تتصل الحالة الوسيطة بالحالة النهائية (P_\omega,V_\omega,T_\omega) عبر عملية متساوية الحجم، فإننا نحصل على:
\begin{array}{rclcl} & V_\alpha/ T_\alpha= V_i / T_i & & P_i/T_i = P_\omega/T_\omega & \\ &\text{متساوي الضغط}& &\text{متساوي الحجم} & \\ P_\alpha & \longrightarrow & P_i = P_\alpha & \longrightarrow & P_\omega = \dfrac{P_i T_\omega}{T_i} \\ \\ V_\alpha & \longrightarrow & V_i = \dfrac{V_\alpha T_i}{T_\alpha} & \longrightarrow & V_\omega = V_i \\ \\ T_\alpha & \longrightarrow & T_i = \dfrac{V_i T_\alpha}{V_\alpha} & \longrightarrow & T_\omega = \dfrac{P_\omega T_i}{P_i} \end{array}
من هذا نحصل على:
\begin{array}{rl} & T_\omega = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) T_i = \left(\dfrac{P_\omega}{P_i}\right) \left(\dfrac{V_i}{V_\alpha}\right)T_\alpha = \dfrac{P_\omega V_\omega T_\alpha}{P_\alpha V_\alpha} \\ \\ \equiv & \dfrac{P_\alpha V_\alpha}{T_\alpha} = \dfrac{P_\omega V_\omega}{T_\omega} \end{array}
تعليقات وخلفية مجهرية
على الرغم من أن الصياغة السابقة تجريبية، يمكن اشتقاقها من المبادئ الأولى عبر نظرية الحركة الجزيئية للغازات. في هذا النموذج، يُعتبر الغاز مجموعة من الجسيمات التي تتحرك وتتصادم مع بعضها ومع جدران الوعاء. ويُبسط النموذج بافتراضات مثل:
- عدم وجود قوى تجاذب أو تنافر عن بُعد بين الجسيمات.
- جسيمات نقطية أو صغيرة الحجم ذات شكل كروي.
- تصادمات مرنة تمامًا بين الجسيمات ومع الجدران.
تُبسط هذه الافتراضات التحليل، وعلى الرغم من أن أي غاز حقيقي لا يحققها بدقة، إلا أنها تصف بشكل جيد العديد من الغازات في نطاق واسع من الظروف، وتوفر أساسًا لـالديناميكا الحرارية الكلاسيكية، مع تطبيقات تمتد من المحركات الحرارية إلى فيزياء الغلاف الجوي والفيزياء الفلكية.
نطاق الصلاحية والقيود
قانون الغازات المثالية ليس قانونًا عامًا. ينحرف عن الواقع عندما تصبح الفرضيات السابقة غير معقولة أو عندما تظهر تأثيرات تتجاوز الفيزياء الكلاسيكية.
- الضغوط العالية ودرجات الحرارة المنخفضة: تصبح التفاعلات بين الجزيئات غير مهملة ويصبح الحجم المحدود للجسيمات ذا أهمية. يُستخدم تصحيح شائع هو معادلة فان دير فالس:\left(P + a\left(\dfrac{n}{V}\right)^2\right)\,(V - nb)=nRT
حيث a وb ثوابت مميزة لكل غاز.
- النظام الكمي: عند درجات حرارة منخفضة جدًا أو كثافات عالية تظهر إحصاءات بوز–آينشتاين أو فيرمي–ديراك، مما يتطلب نماذج للغازات الكمومية.
- النظام النسبي: إذا تحركت الجسيمات بسرعات قريبة من سرعة الضوء، تكون هناك حاجة إلى تصحيحات نسبية.
ملاحظات عملية
- استخدم دائمًا درجة الحرارة بوحدة كلفن في المعادلات: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
- احرص على اتساق الوحدات: إذا كنت تعمل بـ\mathrm{atm} و\mathrm{L}، استخدم R=0{,}082\,057\ \mathrm{L\,atm\,mol^{-1}\,K^{-1}}؛ وإذا استخدمت \mathrm{Pa} و\mathrm{m^3}، فاستخدم R=8{,}314\,462\,6\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
- تذكر أن كل قانون تجريبي تم الحصول عليه مع تثبيت متغير واحد. الجمع بين النتائج يتطلب فهم نوع العملية الديناميكية الحرارية في كل مرحلة.