مشاكل التوافقية في الديناميكا الحرارية
كم عدد الطرق الممكنة لترتيب نظام فيزيائي مكون من ملايين العناصر؟ في هذه الحصة، سنناقش كيف تُمكننا الرياضيات من الإجابة على مثل هذه الأسئلة في سياق الديناميكا الحرارية، بدءًا من توزيع كميات الطاقة في الأنظمة الذرية وحتى حساب التكوينات الممكنة في الأنظمة ذات النطاق الكبير. باستخدام أدوات مثل التوافقية، اللوغاريتمات وصيغة ستيرلينغ، سنستكشف كيفية التعامل مع الأرقام الكبيرة جدًا وحل مشاكل تبدو مستعصية.
أهداف التعلم:
عند انتهاء هذه الحصة، سيتمكن الطالب من:
- فهم كيفية تطبيق مشاكل التوافقية في سياق الديناميكا الحرارية، لا سيما في تنظيم الأنظمة الفيزيائية.
- حساب التكوينات الممكنة للأنظمة الذرية باستخدام الأعداد التوافقية.
- تطبيق صيغة ستيرلينغ لتقدير رتبة الحجم للتكوينات المعقدة.
فهرس المحتويات:
مشاكل التوافقية
مشاكل الأعداد الكبيرة
استخدام اللوغاريتمات وصيغة ستيرلينغ لحساب رتبة الحجم
التطوير باستخدام التقريب المبسط
التطوير باستخدام التقريب العادي
أمثلة عن الحسابات التوافقية وتقدير رتبة الحجم
الحالة 1: العاملات الكبيرة
الحالة 2: التوافقية الكبيرة
سؤال شائع في بعض الحالات الفيزيائية هو: كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها ترتيب نظام معين؟ هذه المشاكل التوافقية شائعة في الديناميكا الحرارية. وعلى الرغم من أنها تبدو بسيطة في البداية، إلا أنها تصبح معقدة عند إدراج أرقام كبيرة جدًا، مثل عدد أفوجادرو N_A، مما يُبرز صعوبة التعامل مع مثل هذه الأحجام الهائلة.
مشاكل التوافقية
لفهم مدى تعقيد المشاكل التي تنطوي على التوافقية في الديناميكا الحرارية، دعونا نأخذ المثال التالي:
مثال: التوزيع على كميات الطاقة
لنفترض وجود نظام مكون من 10 ذرات. يمكن لكل ذرة تخزين 1 أو 0 وحدة من الطاقة، والتي تُسمى كميات الطاقة. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها توزيع هذه الكميات إذا كان لدينا (أ) 10 كميات طاقة و(ب) 5 كميات طاقة؟
الحل
نُمثل الذرات كأماكن متاحة لتخزين كمية طاقة واحدة. إذا كان المكان ممتلئًا، فهذا يعني أن الذرة المقابلة تمتلك كمية الطاقة الخاصة بها.
لحساب عدد الطرق التي يمكن بها توزيع k كميات طاقة بين n أماكن، نستخدم العدد التوافقي:
\displaystyle \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}
هذا الحساب يعطينا العدد \Omega للحالات الممكنة.
(أ) إذا كانت هناك 10 كميات موزعة بين 10 أماكن، فهناك طريقة واحدة فقط للقيام بذلك. وبالتالي، \Omega=1:
\displaystyle \Omega = \binom{10}{10}=\dfrac{10!}{10!(10-10)!} = \dfrac{10!}{10!0!} = 1
(ب) لتوزيع 5 كميات بين 10 أماكن، نقوم بالحساب التالي:
\begin{array}{rl} \Omega &= \displaystyle\binom{10}{5} \\ \\ &=\dfrac{10!}{5!(10-5)!} = \dfrac{10!}{5!\cdot 5!} \\ \\ &= \dfrac{5! \cdot 6\cdot 7\cdot 8 \cdot 9\cdot 10}{5! \cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} \\ \\ &= \dfrac{ 7\cdot 8 \cdot 9\cdot 10}{ 4\cdot 5} = 7\cdot 2 \cdot 9 \cdot 2 = 252 \end{array}
لذلك، هناك 252 تكوينًا ممكنًا.
مشاكل الأعداد الكبيرة
ما قمنا بتحليله حتى الآن هو مجرد البداية. إذا قمنا بتوسيع النظام في الحالة (ب) ليشمل 100 ذرة و50 كمية طاقة، سنحصل على \Omega \approx 10^{28}. الآن، تخيل إجراء نفس الحساب مع مول واحد من الذرات؛ ستكون النتيجة لا يمكن تصورها.
استخدام اللوغاريتمات وصيغة ستيرلينغ لحساب رتبة الحجم
عندما نرغب في تقدير مقدار من الشكل \Omega = \binom{n}{k} لقيم كبيرة لـ n، خاصة عندما يكون k=n/2، وهي الحالة التي تصل فيها القيم إلى الحد الأقصى، يكون من المفيد استخدام التقريب اللوغاريتمي لصيغة ستيرلينغ.
للتعامل مع الأعداد بهذا الحجم، يمكننا إعادة صياغة الحسابات بأخذ اللوغاريتمات، والحصول على:
\displaystyle \ln(\Omega)=\ln\left(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\right)= \ln(n!) - \ln((n-k)!) - \ln(k!)
يمكن تبسيط هذه التعبير باستخدام التقريب الخاص بصيغة ستيرلينغ للوغاريتم العامل، حيث لدينا نسختان ممكنتان: العادية والمبسطة.
- التقريب العادي: \ln(n!) \approx \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n
- التقريب المبسط: \ln(n!) \approx n\ln(n) - n
التطوير باستخدام التقريب المبسط
باستخدام التقريب المبسط نحصل على النتائج التالية:
\begin{array}{rl} \ln(\Omega) & \approx n\ln(n) - n - (n-k)\ln(n-k) + (n-k) - k\ln(k) + k \\ \\ &= n\ln(n) - (n-k)\ln(n-k) - k\ln(k) \\ \\ &= n\ln(n) - n\ln(n-k) + k\ln(n-k) - k\ln(k) \\ \\ &= \ln\left[ \left( \dfrac{n}{n-k} \right)^n \right] + k\ln\left( \dfrac{n-k}{k} \right) \\ \\ &= \ln\left[ \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{k}{n} \right)^n} \right] + k\ln\left( \dfrac{n}{k} - 1 \right) \end{array}
نظرًا لأن هذا التقريب يأخذ في الاعتبار القيم الكبيرة لـ n، نطبق العلاقة:
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\dfrac{k}{n} \right)^n = e^{-k}
بالتالي:
\ln(\Omega) \approx \ln(e^k) + k\ln\left( \dfrac{n}{k} -1 \right) = k + k\ln\left( \dfrac{n}{k} -1 \right)
وأخيرًا، باستخدام تحويل قاعدة اللوغاريتمات نحصل على:
\log(\Omega) = \log(e)\ln(\Omega) \approx k\log(e)\left[1 + \ln\left( \dfrac{n}{k} - 1 \right) \right]
مما يؤدي إلى النتيجة:
\boxed{\Omega \approx 10^{k\log(e)\left[1 + \ln\left( \dfrac{n}{k} - 1 \right) \right]}}
على الرغم من أن هذه النتيجة لا تعطي القيمة الدقيقة لـ \Omega، إلا أنها تسمح بتقدير عدد الأرقام اللازمة لتمثيله، وتتحسن الدقة مع زيادة n.
التطوير باستخدام التقريب العادي
على الرغم من أن التطوير باستخدام التقريب العادي يوفر نتيجة أكثر دقة، إلا أنه يتضمن بعض الحسابات الإضافية التي تؤدي إلى نتائج مكافئة تقريبًا للقيم الكبيرة لـ n. يشترك هذا التطوير في العديد من الحسابات التي تمت بالفعل في التقريب المبسط، ويتلخص في المنهجية التالية:
\begin{array}{rcl} \ln(\Omega) & = & \ln\left(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\right)= \ln(n!) - \ln((n-k)!) - \ln(k!) \\ \\ & \approx & \color{red}\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)\color{black} + n\ln(n) - n \\ \\ & & \color{red}-\dfrac{1}{2}\ln(2(n-k)\pi)\color{black} - (n-k)\ln(n-k) + (n-k) \\ \\ & & \color{red}-\dfrac{1}{2}\ln(2k\pi)\color{black} - k\ln(k) + k \end{array}
تشير الأجزاء المميزة باللون الأحمر إلى العناصر الإضافية التي تُضاف في التقريب العادي، بينما تمثل الأجزاء الأخرى النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل في التقريب المبسط. بناءً على ذلك نحصل على:
\begin{array}{rcl} \ln(\Omega) & \approx & \color{red}\dfrac{1}{2}\ln\left( \dfrac{2n\pi}{2(n-k)\pi \cdot 2k\pi} \right)\color{black} + k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) \\ \\ & = & k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2k\pi(n-k)}{n}\right) \end{array}
ثم، باستخدام تحويل قاعدة اللوغاريتمات نحصل على:
\log(\Omega) = \log(e)\ln(\Omega) \approx \log(e) \left[ k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2k\pi(n-k)}{n}\right) \right]
وأخيرًا، باستخدام الأس الأساس 10 نحصل على:
\Omega \approx 10^{\log(e) \left[ k + k\ln\left(\dfrac{n}{k} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2k\pi(n-k)}{n}\right) \right]}
يمكننا أيضًا، كما في السابق، إيجاد القيمة القصوى لهذا العدد بتقييم الحالة k=n/2، مما يوفر النتيجة التالية:
\begin{array}{rcl} \text{Max}(\Omega) &\approx & 10^{\log(e) \left[ \dfrac{n}{2} + \dfrac{n}{2}\ln\left(\dfrac{n}{(n/2)} - 1\right) - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{2(n/2)\pi(n-n/2)}{n}\right) \right]} \\ \\ & = & 10^{\log(e) \left[\dfrac{n}{2} - \dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{n\pi}{2} \right) \right]} = 10^{\log(e)(n-\ln(n\pi/2))/2} \end{array}
أمثلة عن الحسابات التوافقية وتقدير رتبة الحجم
الحالة 1: العاملات الكبيرة
لنقدر رتبة الحجم لـ \left(10^{50}\right)!، أي عدد الأرقام اللازمة لكتابة هذا العدد.
الحل
لحساب هذا، نستخدم صيغة ستيرلينغ بالطريقة التالية:
\begin{array}{rl} \ln\left[ \left(10^{50}\right)! \right] &\approx 10^{50}\ln\left(10^{50}\right) - 10^{50}\\ \\ &= \left[\ln\left(10^{50}\right) -1\right]10^{50} \\ \\ &= \left[50\ln(10)-1 \right]10^{50} \\ \\ \end{array}
بعد ذلك، نطبق تحويل قاعدة اللوغاريتمات:
\ln\left[ \left(10^{50}\right)! \right] = \dfrac{\log\left[\left(10^{50}\right)!\right]}{\log{e}}
بالتالي:
\log\left[ \left(10^{50}\right)! \right] \approx \log(e)\left[50\ln(10)-1 \right]10^{50}
وأخيرًا، بتطبيق الأس الأساس 10، نحصل على:
\left(10^{50}\right)! \approx 10^{\log(e)\left[50\ln(10)-1 \right]10^{50}} = 10^{49,5657 \cdot 10^{50}}
يمثل الأس فوق العدد 10 رتبة الحجم، مما يوفر تقديرًا لعدد الأرقام التي يحتوي عليها العدد \left(10^{50}\right)!.
الحالة 2: التوافقية الكبيرة
في منزل عادي يوجد تقريبًا 12 مفتاح إضاءة، ويمكن أن يكون كل مفتاح في وضع التشغيل أو الإيقاف. في المتوسط، يسكن كل منزل 4 أشخاص. إذا كان هناك 5 ملايين نسمة في مدينة، كم عدد الطرق الممكنة التي يمكن أن تكون فيها نصف مفاتيح الإضاءة في المدينة قيد التشغيل؟
الحل
عدد المفاتيح n في المدينة:
\begin{array}{rcl} n &=&\dfrac{\text{عدد سكان المدينة}}{\text{عدد الأشخاص في المنزل}} \times \text{عدد المفاتيح لكل منزل} \\ \\ &=& \dfrac{5\cdot 10^6}{4}\cdot 12 = 15\cdot 10^6 \end{array}
يُشكل الماكروستيت المكون من جميع الميكروستيتات التي تكون فيها نصف المفاتيح قيد التشغيل الحالة التي لديها أكبر عدد من التكوينات الممكنة. يُرمز إلى هذا العدد الأقصى بـ \Omega_{max}. يمكننا تقدير هذه القيمة بالطرق التالية:
- التقدير العادي: \Omega_{max} = 10^{\log(e)\left[15\cdot10^6 - \ln\left(15\pi\cdot10^6 / 2 \right) \right]/2} \approx 10^{6.514.413,542}
- التقدير المبسط: \Omega_{max} = 10^{\log(e)\left[15\cdot10^6 \right]/2} \approx 10^{6.514.417,229}
على الرغم من أن الفرق بين التقديرين حوالي 4 مراتب من حيث الحجم (وهو ما قد يبدو كبيرًا)، إلا أن هذا ليس مهمًا فعليًا بجانب أكثر من 6 ملايين ونصف مرتبة من حيث الحجم.