ما هي سيجما-جبرا؟ التعريف والأمثلة

ما هي سيجما-جبرا؟ التعريف والأمثلة

ما هي سيجما-جبرا؟ التعريف والأمثلة

ملخص
تناقش هذه الدرس أهمية سيجما-جبرا في نظرية الاحتمالات. سيجما-جبرا هي هيكل يحتوي على جميع الأحداث القابلة للقياس في عينة فضاء، مما يسمح بتعريف قياس الاحتمال. يتم شرح كيفية بناء سيجما-جبرا من أجزاء العينة باستخدام أمثلة عملية مثل رمي القطع ووقت عمر جهاز إلكتروني. يتم أيضًا تقديم سيجما-جبرا بوريل، المرتبطة بعينة فضاء مستمر، وشرح أحداثها البوريلية.


أهداف التعلم:
بعد إكمال هذه الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:

  1. فهم تعريف سيجما-جبرا وخصائصها كهيكل رياضي يسمح بتعريف قياس الاحتمال.
  2. تحديد العناصر التي تشكل سيجما-جبرا وعلاقتها بالأحداث القابلة للقياس في عينة فضاء.

محتويات الفهرس
تعريف سيجما-جبرا
سيجما-جبرا في رمي القطع
سيجما-جبرا في الحالات المستمرة

الأحداث القابلة للقياس تظهر في مجال الاحتمالات من خلال سيجما-جبرا. من خلال هذه الفكرة، يتحول المفهوم الأولي البديهي إلى هيكل رياضي رسمي يسمح بتعريف قياس الاحتمال.

تعريف سيجما-جبرا

سيجما-جبرا \Sigma (أو σ-جبرا) هي هيكل يحتوي على جميع الأحداث القابلة للقياس في عينة فضاء. يُعتبر الزوج \Sigma_{\Omega} = (\Omega, \mathcal{A}_{\Omega}) سيجما-جبرا لعينة فضاء \Omega إذا تم تحقيق الشروط التالية:

  1. \emptyset,\Omega \in \mathcal{A}_\Omega
  2. \left(E \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E^c = \Omega\setminus E \in \mathcal{A}_\Omega)
  3. \left(E_1, E_2 \in \mathcal{A}_\Omega \right) \rightarrow (E_1 \cup E_2 \in \mathcal{A}_\Omega)

جميع الكائنات E\in\mathcal{A}_\Omega تسمى أحداث في \Omega.

سيجما-جبرا في رمي القطع

المثال 1
بالنسبة لرمي قطعة نقدية، سيجما-جبرا معطاة بواسطة \Sigma_{1m}=(\Omega_{1m}, \mathcal{A}_{1m}) حيث

  • \Omega_{1m}= \{C,S\}
  • \mathcal{A}_{1m}= \{\emptyset,\{C\},\{S\}, \Omega_{1m}\}

يُعرف كل عنصر في \mathcal{A}_{1m} كحدث على النحو التالي:

  • \emptyset “لا تظهر وجوه النقدة” (حدث مستحيل).
  • \{C\} “النتيجة هي وجه النقدة”.
  • \{S\} “النتيجة هي وجه الخلف”.
  • \Omega_{1m}= \{C,S\} “أي من الوجهين يظهر” (حدث مؤكد).
المثال 2
إذا قمنا برمي عملتين بدلاً من عملة واحدة، يمكن الحصول على سيجما-جبرا محتملة \Sigma_{2m}=(\Omega_{2m}, \mathcal{A}_{2m}) من أجزاء \Omega_{2m}. وبالتالي لدينا ما يلي:

  • \Omega_{2m}= \{(C,C);(C,S); (S,C); (S,S)\}
  • \mathcal{A}_{2m}=\mathcal{P}(\Omega_{2m}) = \cdots \cdots = \{\emptyset; \{(C,C)\}; \left\{(C,S)\}; \{(S,C)\}; \{(S,S)\}; \cdots \right. \cdots; \{(C,C);(C,S)\};\{(C,C);(S,C)\};\{(C,C);(S,S)\};\cdots\cdots; \{(C,S);(S,C)\};\{(C,S);(S,S)\};\{(S,C);(S,S)\};\cdots\cdots; \{(C,C);(C,S);(S,C)\};\{(C,C);(C,S);(S,S)\}\cdots \left.\cdots; \{(C,C);(S,C);(S,S)\}; \{(C,S);(S,C);(S,S)\}; \Omega_{2m}\right\}[/latex]

يُعتبر كل عنصر في \mathcal{A}_{2m} حدثًا في \Omega_{2m}. فيما يلي بعض أمثلة عنها:

  • \emptyset “لا يحدث أي نتيجة” (حدث مستحيل).
  • \{(C,C)\} “يظهر وجه النقدة مرتين متتاليتين”.
  • \{(C,S)\} “الوجه الأول هو النقدة والوجه الثاني هو الخلف”.
    \vdots
  • \{(C,C);(C,S)\} “الوجه الأول هو النقدة والوجه الثاني أي شيء”.
  • \{(C,C);(S,C)\} “الوجه الأول أي شيء والوجه الثاني هو النقدة”.
  • \{(C,C);(S,S)\} “كلا الرميتين يعطيان نفس النتيجة”.
    \vdots
  • \{(C,C);(C,S);(S,S)\} “إذا كان الوجه الأول هو الخلف، فإن الوجه الثاني أيضًا الخلف، وإلا فإن الوجه الثاني أي شيء”.
  • \{(C,C);(S,C);(S,S)\} “إذا كان الوجه الأول هو النقدة، فإن الوجه الثاني أيضًا النقدة، وإلا فإن الوجه الثاني أي شيء”.
    \vdots
  • \Omega_{2m} “يتم الحصول على أي نتيجة ممكنة” (حدث مؤكد).

سيجما-جبرا في الحالات المستمرة

المثال 3
بالنسبة لفترة حياة (قياسها بالساعات) لجهاز إلكتروني قد يتلف في أي لحظة، ستكون سيجما-جبرا \Sigma_e = (\Omega_e, \mathcal{A}_e) على النحو التالي:

  • \Omega_e = [0, \infty[
  • \mathcal{A}_e = \{I \; | \; I \subseteq \Omega_e \}

بالتالي، يمكن تفسير الفترات I_t = ]0,t[\in\mathcal{A}_e على أنها “يعمل الجهاز الإلكتروني بشكل صحيح لفترة متتالية تبلغ t ساعة حتى يتلف.”

سيجما-جبرا الاحتمالات المرتبطة بعينة فضاء مستمرة تعرف أيضًا باسم سيجما-جبرا بوريل وتسمى أحداثها بوريليانات.

Views: 89

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *