القانون الأول للديناميكا الحرارية

القانون الأول للديناميكا الحرارية هو الأساس الذي يربط بين المفاهيم الأساسية مثل الحرارة، الشغل والطاقة الداخلية، حيث ينص على أن الطاقة لا تُخلق ولا تُفنى بل تتحول من شكل إلى آخر. يستكشف هذا النص كيفية تطبيق هذا القانون على الأنظمة المغلقة، مع التعمق في تحليل الشغل الديناميكي الحراري، السعة الحرارية والخصائص الإحصائية للغازات. من خلال مزيج من الصيغ الرياضية والتفكير الفيزيائي، ستكتشف أدوات أساسية لفهم العمليات الطاقية في الأنظمة المعقدة.

أهداف التعلم:

بنهاية هذه الحصة، سيكون الطالب قادراً على:

تبرير القانون الأول للديناميكا الحرارية في الأنظمة المغلقة، وشرح العلاقات بين الحرارة، الشغل والطاقة الداخلية.
تحليل مفهوم الشغل الديناميكي الحراري في عمليات الانضغاط والتمدد باستخدام الصيغ التفاضلية.
حساب السعة الحرارية في ظل ظروف حجم وضغط ثابتين، مع تطبيق القيود الديناميكية الحرارية.
شرح توزيع ماكسويل-بولتزمان ومبدأ تقسيم الطاقة في الأنظمة الجزيئية.
إثبات العلاقات المحددة بين السعات الحرارية، المؤشر الأديباتي والخصائص الديناميكية الحرارية الأخرى للغازات المثالية.

فهرس المحتويات:
صياغة القانون الأول للديناميكا الحرارية
الشغل الديناميكي الحراري
السعة الحرارية
توزيع ماكسويل-بولتزمان وتقسيم الطاقة
تمارين

صياغة القانون الأول للديناميكا الحرارية

القانون الأول للديناميكا الحرارية
ينص على:

القانون الأول للديناميكا الحرارية
الطاقة لا تُخلق ولا تُفنى؛ بالإضافة إلى ذلك، الحرارة والشغل هما أشكال من الطاقة (يتم إصدارها، امتصاصها أو استخدامها بواسطة عملية معينة).

الطاقة الداخلية $U$ هي دالة حالة لأن لها قيمة محددة لكل حالة توازن للنظام. يمكن تغيير الطاقة الداخلية للنظام عن طريق تطبيق الحرارة $Q$ أو من خلال الشغل $W$ ؛ ومع ذلك، فإن الشغل والحرارة ليسا دالتين للحالة. يعود ذلك إلى أن كلاهما يعتمدان على العملية التي يتم من خلالها إضافة أو استخراج الطاقة، وبمجرد انتهاء العملية، لا يمكن معرفة كمية الحرارة أو الشغل الذي تم للوصول إلى هذه الحالة.

يمكن كتابة تغير الطاقة الداخلية للنظام كالتالي:

$\Delta U = \Delta Q + \Delta W$ ,

حيث $\Delta Q$ هي كمية الحرارة المضافة و $\Delta W$ هي كمية الشغل المبذول على النظام. وفقاً للاتفاقية، $\Delta Q$ تكون موجبة عند إضافة الحرارة للنظام؛ وإذا كانت $\Delta Q$ سالبة، فإن الحرارة تُزال من النظام؛ $\Delta W$ تكون موجبة عندما يُبذل شغل على النظام؛ وإذا كانت $\Delta W$ سالبة، فإن النظام يبذل شغلاً على البيئة.

يمكن أيضاً التعبير عن العلاقة بين الشغل، الحرارة والطاقة الداخلية بشكل تفاضلي من خلال العلاقة:

$dU = \delta Q + \delta W$ .

هنا، يتم استخدام الحرف $\delta$ لتمثيل التفاضلات غير الكاملة.

يُعرف النظام المعزول حرارياً بأنه النظام الذي لا يمكنه تبادل الحرارة مع بيئته. عندما يحدث ذلك، فإنه يكون $d U = \delta W$ . هذا هو القانون الأول للديناميكا الحرارية المقتصر على نظام أديباتي.

السعة الحرارية

لنفترض الآن
أننا نريد فهم المزيد من التفاصيل حول كيفية تغير الطاقة الداخلية للنظام عند إضافة الحرارة. بشكل عام، الطاقة الداخلية هي دالة للحرارة والحجم، لذا يمكننا الكتابة $U=U(T,V)$ . بعد ذلك، وبما أن الطاقة دالة كاملة، فمن الممكن التعبير عن تغير $U$ بالنسبة لـ $T$ و $V$ من خلال العلاقة:

$\displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV$ .

الآن، باستخدام العلاقات $dU=\delta Q + \delta W$ و $\delta W=-PdV$ ، يمكننا إعادة صياغة القانون الأول للديناميكا الحرارية من خلال التفكير التالي:

$\begin{array}{rl} \delta Q &= dU + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]dV \\ \\ \displaystyle \frac{\delta Q}{dT} & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\frac{dV}{dT}. \end{array}$

هذه العلاقة صالحة لأي تغيير في الحرارة والحجم.

من هذا الاستنتاج، يمكننا تحديد كمية الحرارة التي يجب إضافتها لإحداث تغير في درجة الحرارة تحت قيود معينة.

القيود عند حجم ثابت

لمعرفة ما يحدث عند ثبات الحجم، نتذكر أن تعريف السعة الحرارية عند حجم ثابت هو $C_V=(\partial Q/ \partial T)_V$ . إذا قيدنا التحليل السابق بالحجم الثابت، فإن المصطلح $dV/dT$ في التعبير $\delta Q/dT$ يتم إلغاؤه. هذا يسمح لنا بالكتابة:

$\displaystyle C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_V$ .

القيود عند ضغط ثابت

إذا أبقينا الضغط ثابتاً، فيمكننا كتابة:

$\displaystyle C_p =\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_P=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$ .

السعة الحرارية لغاز أحادي الذرة

عند دراسة
غاز أحادي الذرة، تكون الطاقة الداخلية الناتجة عن الطاقة الحركية لجزيئاته على الشكل $\displaystyle U=\frac{3}{2}Nk_BT$ . يتم تبرير هذا الاستنتاج من خلال مبدأ تقسيم الطاقة الذي يمكن دراسته من خلال المنهج الإحصائي لحركة الجسيمات.

توزيع ماكسويل-بولتزمان وتقسيم الطاقة

نظراً لأن طاقة النظام
تتناسب مع عامل بولتزمان $e^{-E/(k_BT)}$ ، ومن خلال التفكير بناءً على ذلك، وبالنظر إلى أن الطاقة الحركية للجسيمات تأخذ الشكل $\displaystyle E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2$ ، يمكننا استنتاج أن الطاقة المرتبطة بحركة الجسيمات في أحد المحاور (لنركز مؤقتاً على المحور $\hat{x}$ ) ستكون متناسبة مع توزيع السرعات $g(v_x)$ بالشكل $e^{-mv_x^2/(2k_BT)}$ . أي:

$g(v_x)= A e^{-mv_x^2/(2k_BT)}$ ,

حيث أن $A$ هو ثابت يجب تحديده. وبما أن $g(v_x)$ دالة توزيع، فإنه يجب تطبيعها بحيث:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(v_x)dv_x= 1$ .

واحدة من النتائج المفيدة لتحليل هذه الحالة هي التكامل الغاوسي:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi}$ .

بناءً على ذلك، نستنتج:

$\displaystyle 1= \int_{-\infty}^{+\infty} Ae^{\frac{-mv_x^2}{2k_BT}}dv_x= A\sqrt{\frac{\pi}{m/(2k_BT)}} = A\sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}}$ .

وبالتالي:

$\displaystyle g(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}e^{-mv_x^2/(2k_BT)}$ .

من خلال هذا الاستنتاج، يمكننا حساب متوسط مربع السرعة على المحور $\hat{x}$ ، $\left\lt v_x^2\right\gt$ . الناتج هو:

$\displaystyle \left\lt v_x^2\right\gt = \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 g(v_x) dv_x = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}} \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 e^{-mv_x^2/(2k_BT)} = \frac{k_BT}{m}$ .

ونظراً لأن متوسط مربع السرعة الكلية يمكن تقسيمه على الشكل $\displaystyle \left\lt v^2\right\gt = \left\lt v_x^2\right\gt + \left\lt v_y^2\right\gt + \left\lt v_z^2\right\gt$ ، وكل مكون له نفس النتيجة، يمكن كتابة متوسط الطاقة الحركية للنظام على النحو التالي:

$\displaystyle \left\lt E_{cin}\right\gt =\frac{1}{2}m\left\lt v^2\right\gt = \frac{1}{2}m \cdot 3\frac{k_BT}{m}= \frac{3}{2}k_BT$ .

هذا هو ما يسمى بـ “مبدأ تقسيم الطاقة”. بناءً على ذلك، يمكننا القول إنه إذا كان النظام يتكون من $N$ جسيمات بمتوسط طاقة حركية $\displaystyle \left\lt E_{cin}\right\gt$ وكانت طاقة النظام الكلية ناشئة فقط عن الحركة الحركية، فإن الطاقة الداخلية للنظام ستكون $\displaystyle U=3Nk_BT/2$ (كما تم توقعه سابقاً)، كما يمكننا إثبات بشكل واضح أن الطاقة الداخلية تعتمد فقط على درجة حرارة النظام، أي:

$\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0$ .

اشتقاق للغاز المثالي

الآن، باستذكار معادلة الغاز المثالي
$PV=Nk_BT =nRT$ . من خلال حل الحجم نحصل على:

$\displaystyle V= \frac{nRT}{P}$ .

لذلك، يكون:

$\displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}$ .

وباستخدام التعبيرات الخاصة بـ $C_V$ و $C_P$ ، نجد:

$\begin{array}{rl} C_P - C_V & \displaystyle = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T + P \right]\left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = P\cdot \frac{nR}{P} = nR \end{array}$

لأن $\displaystyle C_V=(\partial U / \partial T)_V$ و $U=3Nk_BT/2=3nRT/2$ ، لدينا:

$\displaystyle C_V = \frac{3}{2}nR$

وبالتالي:

$C_P = C_V + nR = \displaystyle \frac{3}{2}nR + nR = \frac{5}{2}nR$

المؤشر الأديباتي

أحد المقاييس المستخدمة بشكل شائع هو نسبة $C_P$ إلى $C_V$ ، والذي يُطلق عليه اسم المؤشر الأديباتي $\gamma$ ، ويُعرَّف كما يلي:

$\gamma = \displaystyle \frac{C_P}{C_V}$

بالنسبة للغازات المثالية، فإن المؤشر الأديباتي له القيمة:

$\gamma = \displaystyle \frac{5}{3}$

تمارين

هل صحيح دائماً أن $dU=C_VdT$ ؟ قارن بين الحالة العامة وحالة الغازات المثالية وقدم التبريرات.
افترض أنه بالنسبة للغاز المثالي $U=C_VT$ . احسب:
1. الطاقة الداخلية لكل وحدة كتلة.
2. الطاقة الداخلية لكل وحدة حجم.
يتم احتجاز مول واحد من غاز مثالي أحادي الذرة داخل أسطوانة بواسطة مكبس، ويُحافظ عليه عند درجة حرارة ثابتة $T_0$ من خلال التلامس مع خزان حراري. يتمدد الغاز ببطء من حجم $V_1$ إلى حجم $V_2$ مع الحفاظ على درجة الحرارة ثابتة طوال العملية.
1. هل تتغير الطاقة الداخلية للغاز؟
2. احسب الشغل الذي يبذله الغاز وتدفق الحرارة إلى الغاز.
أثبت أنه بالنسبة للغاز المثالي تتحقق العلاقات التالية:
$\displaystyle \frac{R}{C_V} = \gamma-1$
$\displaystyle \frac{R}{C_P} = \frac{\gamma -1}{\gamma}$
حيث أن $C_V$ و $C_P$ هما السعتان الحراريتان عند حجم وضغط ثابتين على التوالي.