المقدمة

تظهر الحدود الجانبية عندما نواجه حدودًا قد توجد فقط من اليسار أو اليمين، ولكن ليس من كلا الجانبين. الحدود التي درسناها حتى الآن هي من النوع الأخير تحديدًا: لكي يكون حد الدالة f عندما x\to x_0 موجودًا، من الضروري أن تكون f معرفة بشكل جيد على كلا الجانبين من x_0؛ إذا لم يحدث ذلك، فإن تعريف الحد لن يكون فعالًا. نظرًا لأن الحالات التي يحدث فيها هذا النوع من الحدود شائعة، من الضروري إيجاد طريقة للتعامل معها. يتم حل هذا من خلال تعريف رسمي.

الفكرة البديهية للحدود الجانبية والثنائية

لكي يوجد حد الدالة f عندما x\to x_0، من الضروري أن تكون الدالة معرفة بشكل جيد على كلا الجانبين من x_0. إذا حدث ذلك، فإننا نتحدث عن حد ثنائي. وإذا كانت هذه النتيجة L، فلن يكون هناك مشكلة في الكتابة

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

الآن، تخيل أننا نعيد تعريف هذه الدالة بحيث يشمل مجالها فقط القيم الأكبر من x_0. إذا فعلنا ذلك، سنلاحظ أن الحد لم يعد موجودًا (لأن هناك قيمًا لـx لن يكون لها معنى)؛ ومع ذلك، يمكننا أن نقول رسوميًا أنه عندما x\to x_0، f(x) لا يزال يميل إلى L. الفكرة البديهية التي ننتجها هنا هي الحد الجانبي من اليمين، وهو ما نمثله من خلال الكتابة

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

وبطريقة مماثلة تمامًا سيكون لدينا الحد من اليسار

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

أخيرًا، سيظل الحد الثنائي موجودًا كلما وجدت الحدود الجانبية وكانت متساوية

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)

التعريف الرسمي للحدود الجانبية

لتعريف الحدود الجانبية رسميًا، يكفي تطبيق تعديل صغير على تعريف الحد الأصلي.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

بالنسبة للحدود الجانبية من اليمين، يكون التعريف كالتالي:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

أما بالنسبة للحدود الجانبية من اليسار فسيكون كالتالي:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

شروط جبر الحدود

الأمر المثير للاهتمام في هذه التعريفات هو أنها مدمجة في نفس الوقت في التعريف التقليدي للحدود، وهذا مهم لأنه يعفينا من إعادة إثبات جميع الخصائص التي أثبتناها بالفعل للحدود الثنائية. سيعمل كل جبر الحدود تمامًا كما رأينا في الدروس السابقة طالما كانت الحدود المعنية من نفس النوع (كلها من اليسار، أو كلها من اليمين، بدون خلط)، موجهة إلى نفس النقطة وتوجد في تلك النقطة.

تمارين مقترحة ومحلولة

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [الحل]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [الحل]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [الحل]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\دfrac{3-x}{x} \right) [الحل]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [الحل]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \دfrac{\sqrt{6} - \دfrac{5h^2 + 11h +6}}{h} [الحل]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\دfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\دfrac{|x+2|}{x+2}

   [الحل]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \دfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\دfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [الحل]