熱力学におけるモルとモル質量
要約:
本講義では、熱力学におけるモルとモル質量を導入し、物体内の粒子間の関係性の重要性を強調する。多数の粒子を含む系に対して統計的アプローチが必要であることを説明する。モルをアボガドロ数で定義し、周期表を用いてモル質量を計算する方法を示す。
学習目標
この講義を修了した学生は次のことができる。
- 定義する モルとは何か、その物質中の多数の粒子を表すうえでの重要性を説明できる。
- 学ぶ アボガドロ数の値と意味を理解し、1モル中の粒子数として説明できる。
- 識別する モル質量、モルおよびアボガドロ数との関係を説明できる。
- 計算する 周期表を用いてさまざまな物質のモル質量を求めることができる。
目次
序論
熱力学における大きな数
モルとは何か？
モル質量とは何か？
序論
我々の学習は、モルとモル質量とは何かを理解することから始まる。しかし、その前に別の考えを確認する必要がある。それは「あらゆる対象はその部分の総和以上である」という考えである。なぜなら、対象の構成はその部分そのものからだけでなく、「互いの関係のあり方」から生じるからである。この「あり方」は各部分の性質を単独で見る以上のものであり、すべての部分が互いにどう関係しているかに依存する。したがって、同じ物質からできていても異なる対象が異なる性質を示す理由となる。例えば、温度を変えるだけで水は氷に変化するが、水そのものの本質が加わったり失われたり変化したりするわけではない。このようにして「熱力学」が生まれ、多数の粒子を含む系の挙動を研究する学問となり、統計的なアプローチが不可欠となる。
熱力学における大きな数
では…「多数の粒子」とは具体的にどれほどのことを指すのか。我々はしばしば大きな数に出会う。例えば、地球の人口はおよそ(6-7)\cdot 10^9人であり、アメリカ合衆国の公的債務は約23 \cdot 10^{12} USDに達する。しかし、これらの数値でさえ熱物理学に関わる桁外れの大きさの前では色あせてしまう。例えば、手元にある任意の物体には容易に10^{20}個以上の粒子が含まれており、これにより理解のための計算には深刻な制約が生じる。
| 例 |
1キログラムの窒素ガスには、およそ 2\cdot 10^{25} 個の N_2 分子が含まれている。3GHzのプロセッサを搭載したパーソナルコンピュータがあり、その全能力を分子のカウントのみに費やすと仮定し、この1キログラムの窒素中のすべての分子を数えるのにどれほどの時間がかかるかを見てみよう。 |
解答: コンピュータはその全能力を用いて分子を数えるため、1クロックサイクルごとに1分子を数えることになる。したがって、カウントに要する時間は次のようになる。 t = \dfrac{2\cdot 10^{25}}{3\cdot 10^9 \left[\dfrac{1}{s}\right]} \approx 6,\overline{6} \cdot 10^{15} [s] ここで、1年は356日、1日は24時間、1時間は3600秒であることが分かっている。したがって、秒を年に換算すると、実に211.398.613,2年という途方もない数値を得る。これは2億年以上に相当する。 この例では分子を数えることと、それにかかる時間についてのみ述べたが、粒子間の相互作用を計算することについては触れていない。これほど単純な作業ですらこれだけの時間がかかるのであれば、すべての相互作用を組み合わせて計算することは到底不可能である。 |
したがって、熱力学の研究を進めるためには、いくつかの統計的な問題、熱力学的極限およびモルの概念を確認する必要がある。我々はまず後者から確認を始める。
モルとは何か？
モルとは、ある特定の数のものを表すために用いられる名称である。 その役割は、卵を買うときに使う「ダース」という言葉に似ている（1ダースの卵は12個の卵である）。しかしモルは、ある物質中の原子の数といった桁外れに大きな数を扱うために設計されている。その定義は次の通りである。
| 定義 |
モルとは、ちょうど12[g]の ^{12}C に含まれる原子の数と同じ数の対象を含む物質の量である。 |
モルはまた、ちょうど1[g]の ^{1}H に含まれる原子の数と同じ数の対象を含む物質の量として近似的に表されることもある。しかし、定義には炭素が用いられるのが一般的である。なぜなら、炭素は固体状態で存在するため、より正確に測定することが容易だからである。
1モルの原子はアボガドロ数 N_A の原子に相当する。アボガドロ数を有効数字4桁で表すと次のようになる。
\boxed{N_A = 6.022 \cdot 10^{23}}
アボガドロ数は、その定義を想起させるために、しばしば N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \left[\dfrac{1}{mol}\right] のように「単位」を付けて表されるが、[mol] と同様に本質的には無次元量である。
| 例 |
|
モル質量とは何か？
ある物質のモル質量とは、その物質1モルに含まれる質量のことである。 したがって、炭素12のモル質量は12[g]、水のモル質量はおよそ18[g]である。モル質量を良い近似で求める一つの方法は、化合物を構成する元素の質量数を合計することである。例えば、水の場合は次のようになる。
H_2 O = {}^{1}H + {}^{1}H + {}^{16}O
つまり、陽子を1つ持つ水素の同位体2つと、陽子8個・中性子8個を含む酸素1つで構成されている。したがって、モル質量は18[g]となる。
これをより正確に行う方法は、周期表を用いることである。 周期表では、陽子と中性子の間に存在するわずかな質量の差を考慮して、原子のモル質量が示されている。
周期表のデータを用いて水のモル質量を求めると、水1モルの質量は 2\cdot 1,00794 + 15,9994 [g]=18,01448[g] となる。
したがって、物質（分子または原子）の1粒子の質量は、モル質量をアボガドロ数で割ったものに等しい。
\textnormal{粒子の質量} = \dfrac{\textnormal{モル質量}}{\text{アボガドロ数}}