صيغة ستيرلينغ

تُعد صيغة ستيرلينغ أداة أساسية لتبسيط الحسابات الخاصة بمضاعفات الأعداد الكبيرة، حيث توفر تقريبًا سريعًا وعمليًا.

هذا الناتج مفيد بشكل خاص في مجالات مثل الديناميكا الحرارية، الاحتمالات، والتحليل التقاربي، حيث يكون التعامل مع الأعداد الكبيرة أمرًا شائعًا. فهم تطويرها لا يُسهل استخدامها فحسب، بل يُبرز أيضًا أهميتها في الحسابات الفعالة وحل المشكلات المعقدة.

أهداف التعلم:
عند إتمام هذه الحصة، سيكون الطالب قادرًا على:

1. فهم استنتاج صيغة ستيرلينغ انطلاقًا من تعريف المضاعف باستخدام دالة غاما.
2. تطبيق صيغة ستيرلينغ لتقريب مضاعفات الأعداد الكبيرة جدًا.
3. حساب التقريبات اللوغاريتمية للمضاعفات باستخدام أدوات اللوغاريتمات والأسس الأساسية.

جدول المحتويات:
استنتاج صيغة ستيرلينغ
التقريب اللوغاريتمي للمضاعف
مثال: تقريب مضاعف عدد كبير جدًا

استنتاج صيغة ستيرلينغ

يبدأ تطوير صيغة ستيرلينغ من تعريف المضاعف باستخدام دالة غاما، والذي يُعبَّر عنه كما يلي:

n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt

باستخدام هذا التعبير، نقوم بتغيير المتغير: t = nx. هذا يعني أن x \in [0, \infty[ وأن dt = n dx. بعد هذا التغيير، تتحول التكاملية كما يلي:

n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx

بعد ذلك، نقوم بتغيير متغير آخر: x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. هذا يعني:

\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}

بعد هذا التغيير في المتغير، تصبح التكاملية بالشكل التالي:

\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}

نستخدم الآن توسعة سلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي:

\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}

عند تطبيق هذه التوسعة على \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)، يمكننا توسيع التعبير الأسي كالتالي:

\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}

لذلك، يمكننا كتابة التعبير الكامل كالتالي:

n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds

هذه النتيجة أساسية لحساب مضاعفات الأعداد الكبيرة جدًا. عندما يزداد n، تتلاشى الحدود داخل المجموع في الأس، تاركة فقط الحد السائد. يتم تبسيط التكامل، ويمكن حله كتكامل غاوسي:

n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}

تُعرف هذه النتيجة باسم صيغة ستيرلينغ لحساب مضاعفات الأعداد الكبيرة:

\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}

التقريب اللوغاريتمي للمضاعف

نتيجة مباشرة لصيغة ستيرلينغ هي التقريب اللوغاريتمي للمضاعف. بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لصيغة ستيرلينغ، نحصل على:

\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}

في الخطوة الأخيرة، يتم تقريب إضافي من خلال إهمال الحد \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi). هذا الحد يصبح غير ذي أهمية مقارنة بـ n\ln(n) - n عندما تكون n كبيرة.

يمكن التحقق من صحة هذا التقريب بحساب الخطأ النسبي بين التعبيرين:

\begin{array}{rcl} \text{التقريب الأولي} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{التقريب النهائي} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{الخطأ النسبي} &=& \dfrac{\text{التقريب النهائي} - \text{التقريب الأولي}}{\text{التقريب الأولي}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}

نحسب الآن النهاية عندما n \to \infty:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{الخطأ النسبي} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}

وبالتالي، بما أن الخطأ يقترب من الصفر عندما تكون n كبيرة، يمكننا استخدام التقريب اللوغاريتمي التالي بثقة:

\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}

مثال: تقريب مضاعف عدد كبير جدًا

حساب مضاعف أعداد كبيرة جدًا، مثل 10,000!، يكاد يكون مستحيلًا باستخدام الأدوات التقليدية بسبب الحجم الكبير للنتيجة. ومع ذلك، باستخدام التقريب اللوغاريتمي للمضاعف المشتق من صيغة ستيرلينغ، يمكننا جعل هذه الحسابات ممكنة حتى باستخدام الآلات الحاسبة البسيطة.

تعطينا صيغة لوغاريتم المضاعف:

\ln(10,000!) \approx 10,000 \ln(10,000) - 10,000

لتحويل اللوغاريتمات الطبيعية (\ln) إلى لوغاريتمات ذات الأساس 10 (\log)، نستخدم العلاقة:

\ln(10,000!) = \dfrac{\log(10,000!)}{\log(e)}

وهذا يعني:

\log(10,000!) \approx \log(e) \cdot (10,000 \ln(10,000) - 10,000)

لذلك:

10,000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10,000 \ln(10,000) - 10,000)} \approx 10^{35,657.06}

نلاحظ هنا أن التعبير في الأس يصبح قابلاً للإدارة بالنسبة لمعظم الآلات الحاسبة. وبالتالي، على الرغم من أننا لا نستطيع تصور الرقم بسبب حجمه الهائل، إلا أننا نعلم أن العدد يتكون من حوالي 35,657 رقمًا. هذه الطريقة تحول عملية حسابية تبدو مستحيلة إلى شيء ممكن التنفيذ.