Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — это важный инструмент для упрощения вычислений факториалов больших чисел, предлагая быстрое и практичное приближение.
Этот результат особенно полезен в таких областях, как термодинамика, теория вероятностей и асимптотический анализ, где работа с очень большими числами является обычным делом. Понимание её вывода не только облегчает её применение, но и позволяет оценить её важность в эффективных вычислениях и решении сложных задач.
Учебные цели:
По завершении этого урока студент сможет:
- Понять вывод формулы Стирлинга из определения факториала через гамма-функцию.
- Применить формулу Стирлинга для приближения факториалов очень больших чисел.
- Вычислить логарифмические приближения факториалов с использованием основных инструментов логарифмов и степеней.
СОДЕРЖАНИЕ:
Вывод формулы Стирлинга
Логарифмическое приближение факториалов
Пример: Приближение факториала очень большого числа
Вывод формулы Стирлинга
Вывод формулы Стирлинга начинается с определения факториала через гамма-функцию:
n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt
Используя это выражение, выполняется замена переменной: t = nx. Это предполагает, что x \in [0, \infty[ и dt = n dx. С этой заменой интеграл преобразуется следующим образом:
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx
Далее выполняем вторую замену переменной: x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. Это предполагает:
\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}
С этой заменой переменной интеграл принимает следующий вид:
\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}
Теперь используем разложение натурального логарифма в ряд Тейлора:
\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}
Применяя это разложение к \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right), разовьём экспоненциальное выражение следующим образом:
\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}
Таким образом, мы можем записать полное выражение следующим образом:
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds
Этот результат является основой для вычисления факториалов больших чисел. По мере увеличения n, слагаемые в сумме внутри экспоненты стремятся к нулю, оставляя только доминирующий член. Это упрощает интеграл, который можно решить как гауссов интеграл:
n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}
Этот результат известен как формула Стирлинга для факториалов больших чисел:
\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}
Логарифмическое приближение факториала
Прямым следствием формулы Стирлинга является логарифмическое приближение факториала. Взяв натуральный логарифм от формулы Стирлинга, мы получаем:
\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}
На последнем шаге выполнено дополнительное приближение, при котором пренебрегается член \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi). Этот член становится незначительным по сравнению с n\ln(n) - n для больших значений n.
Обоснование точности этого приближения заключается в вычислении относительной ошибки между двумя выражениями:
\begin{array}{rcl} \text{Начальное приближение} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{Конечное приближение} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{Относительная ошибка} &=& \dfrac{\text{Конечное приближение} - \text{Начальное приближение}}{\text{Начальное приближение}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}
Рассмотрим предел, когда n \to \infty:
\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{Относительная ошибка} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}
Таким образом, поскольку ошибка стремится к нулю для больших значений n, мы можем с уверенностью использовать следующее логарифмическое приближение:
\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}
Пример: Приближение факториала очень большого числа
Вычисление факториалов очень больших чисел, таких как 10.000!, практически невозможно с использованием обычных инструментов из-за размера результата. Однако, используя логарифмическое приближение факториала, выведенное из формулы Стирлинга, мы можем сделать вычисления управляемыми даже с помощью простых калькуляторов.
Логарифмическая формула факториала выглядит так:
\ln(10.000!) \approx 10.000 \ln(10.000) - 10.000
Для преобразования из натуральных логарифмов (\ln) в логарифмы по основанию 10 (\log) используется следующая связь:
\ln(10.000!) = \dfrac{\log(10.000!)}{\log(e)}
Это означает, что:
\log(10.000!) \approx \log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)
Следовательно:
10.000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)} \approx 10^{35.657,06}
На этом этапе мы замечаем, что экспоненциальное выражение становится управляемым для большинства калькуляторов. Таким образом, хотя мы не можем визуализировать число из-за его огромного размера, мы знаем, что оно содержит около 35.657 цифр. Этот подход превращает, казалось бы, недостижимый расчет в выполнимый.