ऊष्मागतिकी का पहला नियम

ऊष्मागतिकी का पहला नियम गर्मी, काम और आंतरिक ऊर्जा जैसे मौलिक अवधारणाओं को जोड़ने का आधार है, यह स्थापित करते हुए कि ऊर्जा न तो बनाई जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है, केवल रूपांतरित की जा सकती है। यह सामग्री यह दिखाती है कि यह नियम बंद प्रणालियों पर कैसे लागू होता है, ऊष्मागतिकीय कार्य, ऊष्मा क्षमता और गैसों के सांख्यिकीय गुणों का विश्लेषण करते हुए। गणितीय सूत्रीकरण और भौतिक तर्कों के संयोजन के माध्यम से, आप जटिल प्रणालियों में ऊर्जा प्रक्रियाओं को समझने के लिए आवश्यक उपकरण खोजेंगे।

शिक्षण उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत में छात्र सक्षम होंगे

1. न्यायसंगत ऊष्मागतिकी के पहले नियम को बंद प्रणालियों के लिए, गर्मी, काम और आंतरिक ऊर्जा के बीच संबंधों को समझाते हुए।
2. विश्लेषण संपीड़न और विस्तार प्रक्रियाओं में ऊष्मागतिकीय कार्य की अवधारणा, अंतर समीकरणों का उपयोग करते हुए।
3. गणना स्थिर आयतन और दबाव स्थितियों में ऊष्मा क्षमता, ऊष्मागतिकीय प्रतिबंध लागू करते हुए।
4. समझाना मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण और ऊर्जा के समतुल्यता सिद्धांत को आणविक प्रणालियों में।
5. प्रदर्शन ऊष्मा क्षमताओं, एडियाबेटिक सूचकांक और आदर्श गैसों के लिए अन्य ऊष्मागतिकीय गुणों के बीच विशिष्ट संबंध।

विषय सूची:
ऊष्मागतिकी के पहले नियम का सूत्रीकरण
ऊष्मागतिकीय कार्य
ऊष्मा क्षमता
मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण और ऊर्जा की समतुल्यता
अभ्यास

ऊष्मागतिकी के पहले नियम का सूत्रीकरण

ऊष्मागतिकी का पहला नियम यह स्थापित करता है:

आंतरिक ऊर्जा U एक स्थिति चर है क्योंकि यह प्रणाली की प्रत्येक संतुलन स्थिति के लिए एक स्पष्ट परिभाषित मान रखती है। प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा को गर्मी Q या काम W लागू करके बदला जा सकता है; हालांकि, काम और गर्मी स्थिति चर नहीं हैं। यह इसलिए है क्योंकि दोनों इस प्रक्रिया पर निर्भर करते हैं जिसके माध्यम से ऊर्जा जोड़ी या निकाली जाती है, और प्रक्रिया समाप्त होने के बाद यह पता लगाना असंभव है कि संतुलन की इस स्थिति में पहुंचने के लिए कितनी गर्मी या काम किया गया।

प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

\Delta U = \Delta Q + \Delta W,

जहां \Delta Q आपूर्ति की गई गर्मी की मात्रा है और \Delta W प्रणाली पर किया गया काम है। परंपरागत रूप से \Delta Q तब सकारात्मक होता है जब प्रणाली को गर्मी दी जाती है; यदि \Delta Q नकारात्मक है, तो गर्मी प्रणाली से निकाली जा रही है; \Delta W तब सकारात्मक होता है जब प्रणाली पर काम किया जाता है; यदि \Delta W नकारात्मक है, तो प्रणाली पर्यावरण पर काम करती है।

काम, गर्मी और आंतरिक ऊर्जा के बीच संबंध को भी भिन्न रूप में निम्नलिखित के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

dU = \delta Q + \delta W.

यहां \delta अक्षर का उपयोग सटीक विभेदकों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

एक ऊष्मीय रूप से पृथक प्रणाली को उस प्रणाली के रूप में परिभाषित किया गया है जो अपने परिवेश के साथ गर्मी का आदान-प्रदान नहीं कर सकती। जब ऐसा होता है, तो d U = \delta W होगा। यह ऊष्मागतिकी का पहला नियम एक ऐडियाबेटिक प्रणाली तक सीमित है।

ऊष्मा क्षमता

मान लें कि अब हम यह समझना चाहते हैं कि जब प्रणाली में गर्मी जोड़ी जाती है तो इसकी आंतरिक ऊर्जा कैसे बदलती है। सामान्य रूप से, आंतरिक ऊर्जा तापमान और आयतन का एक फलन है, इसलिए हम इसे लिख सकते हैं U=U(T,V)। फिर, क्योंकि ऊर्जा एक सटीक विभेदन है, U का T और V के संबंध में परिवर्तन निम्नलिखित रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

\displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV.

अब, संबंधों dU=\delta Q + \delta W और \delta W=-PdV से, हम ऊष्मागतिकी का पहला नियम निम्नलिखित तर्कों के माध्यम से फिर से तैयार कर सकते हैं:

\begin{array}{rl} \delta Q &= dU + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV + PdV\\ \\ & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]dV \\ \\ \displaystyle \frac{\delta Q}{dT} & \displaystyle =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\frac{dV}{dT}. \end{array}

यह अंतिम रूप किसी भी तापमान और आयतन परिवर्तन के लिए मान्य है।

हमने जो हासिल किया है उससे हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि तापमान परिवर्तन को प्राप्त करने के लिए कितनी गर्मी जोड़नी होगी, कुछ प्रतिबंधों के तहत।

स्थिर आयतन पर प्रतिबंध

यह देखने के लिए कि स्थिर आयतन पर क्या होता है, याद रखें कि स्थिर आयतन पर ऊष्मा क्षमता की परिभाषा C_V=(\partial Q/ \partial T)_V है। फिर, यदि हम पिछले विश्लेषण में आयतन को स्थिर रखते हैं, तो हम dV/dT शब्द को \delta Q/dT की अभिव्यक्ति में हटा सकते हैं। यह हमें निम्नलिखित रूप में लिखने का औचित्य प्रदान करता है:

\displaystyle C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_V

स्थिर दबाव पर प्रतिबंध

यदि हम दबाव को स्थिर रखते हैं, तो यह होगा:

\displaystyle C_p =\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_P=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + P\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p.

एक एकात्मक गैस की ऊष्मा क्षमता

जब हम एक एकात्मक गैस पर विचार करते हैं, तो कणों की गतिज ऊर्जा के कारण आंतरिक ऊर्जा का रूप \displaystyle U=\frac{3}{2}Nk_BT होता है। इस परिणाम को ऊर्जा के समतुल्यता सिद्धांत द्वारा सही ठहराया जाता है, जिसे कणों की गति के सांख्यिकीय दृष्टिकोण से अध्ययन किया जा सकता है।

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण और ऊर्जा का समतुल्यता सिद्धांत

चूंकि किसी प्रणाली की ऊर्जा इसके बोल्ट्ज़मैन कारक e^{-E/(k_BT)} के अनुपात में होती है। इस पर विचार करते हुए और यह मानते हुए कि कणों की गतिज ऊर्जा का रूप \displaystyle E_{cin}=\frac{1}{2}mv^2 है, हम अनुमान लगा सकते हैं कि प्रणाली के कणों के गति से संबंधित ऊर्जा, जिसे किसी एक समन्वय अक्ष (मान लें \hat{x}) पर प्रक्षिप्त किया गया है, की वेग वितरण g(v_x) निम्नलिखित अनुपात में होगी:

g(v_x)= A e^{-mv_x^2/(2k_BT)},

जहां A एक स्थिरांक है जिसे निर्धारित करना है। अब, चूंकि g(v_x) एक वितरण फलन है, इसे इस प्रकार सामान्यीकृत होना चाहिए कि:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} g(v_x)dv_x= 1

इस स्थिति का विश्लेषण करने के लिए एक उपयोगी परिणाम गॉसियन समाकलन है:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi}

इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि:

\displaystyle 1= \int_{-\infty}^{+\infty} Ae^{\frac{-mv_x^2}{2k_BT}}dv_x= A\sqrt{\frac{\pi}{m/(2k_BT)}} = A\sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}}

और इसलिए:

\displaystyle g(v_x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}e^{-mv_x^2/(2k_BT)}

इस जानकारी के साथ अब हम अक्ष \hat{x} पर प्रक्षिप्त औसत वेग वर्ग \left< v_x^2\right> की गणना कर सकते हैं। इसका परिणाम है:

\displaystyle \left< v_x^2\right \gt = \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 g(v_x) dv_x = \sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}} \int_{-\infty}^{+\infty} v_x^2 e^{-mv_x^2/(2k_BT)} = \frac{k_BT}{m}

चूंकि औसत वेग वर्ग को निम्नलिखित रूप में विभाजित किया जा सकता है:

\displaystyle \left\lt v^2\right\gt = \left\lt v_x^2\right\gt + \left\lt v_y^2\right\gt + \left\lt v_z^2\right\gt,

और इनमें से प्रत्येक घटक का विकास और परिणाम समान है, हम प्रणाली के कणों की औसत गतिज ऊर्जा को निम्नलिखित रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

\displaystyle \left\lt E_{cin}\right\gt =\frac{1}{2}m\left\lt v^2\right\gt = \frac{1}{2}m \cdot 3\frac{k_BT}{m}= \frac{3}{2}k_BT.

इसे “ऊर्जा का समतुल्यता सिद्धांत” कहा जाता है। इस आधार पर, यदि प्रणाली में N कण हैं, जिनकी औसत गतिज ऊर्जा \displaystyle \left\lt E_{cin}\right\gt है और प्रणाली की कुल ऊर्जा केवल गतिज ऊर्जा है, तो हम यह नहीं केवल कह सकते हैं कि प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा \displaystyle U=3Nk_BT/2 है (जैसा पहले अनुमान लगाया गया था), बल्कि यह भी स्पष्ट रूप से दिखा सकते हैं कि आंतरिक ऊर्जा केवल प्रणाली के तापमान पर निर्भर करती है, जिससे:

\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0

आदर्श गैस का विश्लेषण

अब, आदर्श गैस समीकरण को ध्यान में रखते हुए PV=Nk_BT =nRT। यदि हम आयतन का निराकरण करें तो हमें मिलेगा:

\displaystyle V= \frac{nRT}{P}

और इस प्रकार:

\displaystyle \left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = \frac{nR}{P}

और जब हम C_V और C_P की अभिव्यक्तियों को देखते हैं, तो हमें पता चलता है:

\begin{array}{rl} C_P - C_V & \displaystyle = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T + P \right]\left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P = P\cdot \frac{nR}{P} = nR \end{array}

अब, चूंकि \displaystyle C_V=(\partial U / \partial T)_V और U=3Nk_BT/2=3nRT/2, तो:

\displaystyle C_V = \frac{3}{2}nR

और इसलिए:

C_P = C_V + nR = \displaystyle \frac{3}{2}nR + nR = \frac{5}{2}nR

एडियाबेटिक गुणांक

एक अक्सर उपयोग की जाने वाली मापांक C_P और C_V के अनुपात का है, जिसे एडियाबेटिक गुणांक \gamma कहा जाता है। इसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया गया है:

\gamma = \displaystyle \frac{C_P}{C_V}

आदर्श गैसों के लिए, एडियाबेटिक गुणांक का मान सटीक है:

\gamma = \displaystyle \frac{5}{3}

अभ्यास

1. क्या यह हमेशा सत्य होगा कि dU=C_VdT? सामान्य मामले की आदर्श गैसों से तुलना करें और अपने उत्तर को तर्कसंगत बनाएं।
2. मानते हुए कि एक आदर्श गैस के लिए U=C_VT सत्य है, निम्नलिखित की गणना करें: (i) द्रव्यमान प्रति इकाई आंतरिक ऊर्जा और (ii) आयतन प्रति इकाई आंतरिक ऊर्जा।
3. एक आदर्श एक परमाणु गैस के एक मोल को एक सिलेंडर में एक पिस्टन द्वारा सीमित किया गया है और इसे एक थर्मल रिजर्व के संपर्क में रखकर निरंतर तापमान T_0 पर बनाए रखा गया है। गैस को धीरे-धीरे एक प्रारंभिक आयतन V_1 से एक अंतिम आयतन V_2 तक विस्तारित किया जाता है, जबकि तापमान स्थिर रहता है। (i) क्या गैस की आंतरिक ऊर्जा बदलती है? (ii) गैस द्वारा किया गया कार्य और गैस में प्रवाहित गर्मी की गणना करें।
4. यह दिखाएं कि एक आदर्श गैस के लिए निम्नलिखित संबंध सत्य हैं:

   \displaystyle \frac{R}{c_V} = \gamma-1

   \displaystyle \frac{R}{c_P} = \frac{\gamma -1}{\gamma}

   जहां c_V और c_P मोलर ऊष्मा धारिता हैं।