डोमेन, रेंज और ग्राफ की परिभाषा

अब तक, हमने रैखिक, द्विघातीय और इसी तरह के फलनों का विस्तृत अध्ययन किया है। हमने रेखाएँ, परवलय, दीर्घवृत्त, और समांतर, बहुपदों और सामान्य बीजगणितीय फलनों का भी अध्ययन किया है। इन चीजों को पूरा करने के बाद, अब हम उन मूलभूत पहलुओं में अधिक गहराई से प्रवेश कर सकते हैं जो फलनों से संबंधित हैं, जिनमें हम डोमेन, रेंज और ग्राफ की अवधारणाओं को देखेंगे।

मान लें कि f एक फलन है जो समुच्चय A और B के बीच परिभाषित है।

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

समुच्चय A और B क्रमशः “इनपुट” और “आउटपुट” समुच्चय कहे जाते हैं। और इनसे निम्नलिखित समुच्चय परिभाषित होते हैं:

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

उदाहरण विश्लेषण

यद्यपि डोमेन, रेंज और ग्राफ की अवधारणाओं का अध्ययन मूल रूप से सैद्धांतिक है, इनकी समझ व्यावहारिक उदाहरणों से अधिक स्पष्ट होती है। अब हम तीन मामलों का विश्लेषण करके इन अवधारणाओं को समझेंगे:

यहाँ डोमेन, रेंज और ग्राफ का विश्लेषण करें: f(x) = \sqrt{1-x^2}

इस विश्लेषण को प्रारंभ करें और लिखें y=f(x)। यदि हम ऐसा करते हैं, तो हमें यह समीकरण प्राप्त होगा

y = \sqrt{1-x^2}

यदि हम इस अभिव्यक्ति को वर्ग करें, तो हम शीघ्र ही एक समीकरण पर पहुँचेंगे जिससे हमें पहले से ज्ञात चीज़ों का पता चलेगा

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

यह इकाई वृत्त का समीकरण है।

हालांकि, हमें यहाँ सावधान रहना होगा, क्योंकि वर्ग करने से “कुछ जानकारी जुड़ जाती है”। बीजगणितीय रूप से, दो मान होते हैं जो “वर्गमूल होने” की शर्त को पूरा करते हैं, लेकिन इस विश्लेषण की शुरुआत में, वर्गमूल को एक फलन के रूप में निर्दिष्ट किया गया था, और फलनों में केवल एक परिणाम होता है। हम मुख्य वर्गमूल के बारे में बात कर रहे हैं। इसलिए, मूल विचार केवल वृत्त के ऊपरी भाग को संदर्भित करता है, न कि पूरी आकृति को।

इस चित्र से यह स्पष्ट है कि:

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

हालांकि मैंने इस विश्लेषण को ग्राफ़िकल दृष्टिकोण से किया है, इसे अधिक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से भी किया जा सकता है, जिसमें शामिल ऑपरेशनों की समीक्षा की जाती है।

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

1-x^2 सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।

हालांकि, वर्गमूल केवल शून्य या शून्य से बड़े मानों को स्वीकार करता है।

इससे हमें प्राप्त होता है:

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

अतः:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

मान निर्धारित करने के लिए विश्लेषणात्मक विधियाँ सामान्यतः अधिक जटिल होती हैं; सरल मामलों को प्रतिलोम फलन खोजकर हल किया जा सकता है, लेकिन इस विषय की गहन समीक्षा से पहले, पहले फलनों की संरचना और अन्य सरल मामलों का अध्ययन करना बेहतर होता है। इस बीच, ग्राफ़िकल विधियाँ, जिन्हें हम जल्द ही देखेंगे, मान निर्धारित करने में आने वाली अधिकांश कठिनाइयों को कवर करेंगी।

विश्लेषण करें: g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

डोमेन को जल्दी से खोजने का एक तरीका है यह देखना कि x के कौन से मान फलन को “खराब” कर देंगे। स्पष्ट है कि फलन तब खराब होगा जब भाजक शून्य हो जाएगा। यानी:

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

चूँकि कोई वास्तविक संख्या इस शर्त को पूरा नहीं कर सकती, इसलिए यह स्पष्ट है कि

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

फलन के मान को खोजने का सबसे तेज़ तरीका सामान्यतः इसका ग्राफ खींचना है। और इसके लिए बहुपद विभाजन एक अच्छा उपकरण साबित होगा।

बहुपद विभाजन करने से हमें मिलता है:

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

इस तरह, हमने मूल फलन को दो सरल भागों में विभाजित किया है, जिन्हें हम “पूर्णांक भाग” और “भिन्न भाग” कहते हैं। इन भागों का ग्राफ बनाना एक बार में मूल फलन का ग्राफ बनाने से कहीं अधिक आसान है।

विश्लेषण करें: h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

बीजगणितीय विश्लेषण इस फलन का डोमेन जल्दी से निर्धारित करने में मदद करेगा। ध्यान दें कि यह फलन तभी परिभाषित होगा जब:

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

इसलिए, यह स्पष्ट है कि Dom(h)=]-1,+\infty[.

मान खोजने के लिए, ग्राफ बनाना उपयोगी होगा, और इसे सरल तरीके से करने के लिए, हम एक संकेत तालिका का उपयोग करेंगे। फलन h(x) दो भागों से बना है:

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

ऊपरी भाग x=1 पर शून्य हो जाता है; और निचला भाग x=-1 पर शून्य हो जाता है, लेकिन x\lt-1 पर अपरिभाषित हो जाता है। इस जानकारी से निम्न संकेत तालिका बनाई जाती है:

इस तालिका की जानकारी के साथ, अब फलन का ग्राफ बनाना बहुत आसान है।

और इसके साथ, अब डोमेन और रेंज को निर्धारित करना एक आसान काम हो जाता है:

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

प्रस्तावित अभ्यास

हमने अभी जो उपकरण देखे हैं, उनका उपयोग करके निम्नलिखित फलन के डोमेन, रेंज और ग्राफ का पता लगाएं:

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}