Equação da Reta e os Sistemas Cartesianos

Resumo:
Nesta aula, abordaremos os fundamentos da geometria analítica, mostrando como representar pontos em um plano usando coordenadas e como formular a equação da reta a partir da inclinação e de um ponto dado. Conceitos chave como a inclinação, o uso da equação $y = mx + b$ e a representação gráfica de retas são explorados, junto com exercícios práticos e aplicações para resolver problemas do mundo real, como o cálculo de posições e interseções de retas.

Objetivos de Aprendizagem

Compreender os princípios básicos da geometria analítica e sua aplicação na representação de pontos em um plano cartesiano.
Identificar a fórmula da inclinação de uma reta e seu significado geométrico.
Aplicar a equação geral da reta $y = mx + b$ para descrever relações lineares.
Calcular a equação da reta a partir de um ponto e da inclinação.
Desenhar retas em um plano cartesiano usando sua equação linear.
Resolver problemas envolvendo a interseção de duas retas usando sistemas de equações.
Analisar a relação entre duas magnitudes lineares e como representá-las por meio de uma equação de reta.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Os princípios da Geometria Analítica
A Equação da Reta
Como desenhar a Equação da Reta
Interseções entre Retas

Agora começaremos nosso estudo sobre a equação da reta, os sistemas cartesianos e os princípios da geometria analítica.

Os princípios da Geometria Analítica

Quando os números reais são introduzidos, normalmente se diz que esses são pontos sobre uma reta

A partir disso, Descartes teve a genialidade de usar duas retas para representar pontos em um plano como um par de coordenadas (x, y)

A Equação da Reta

Usando esses conceitos, agora é possível considerar um conjunto de pontos no plano para formar curvas no plano, onde à coordenada $x$ corresponde outra coordenada $y$ , e essa regra de correspondência é dada por uma função. É neste ponto que a álgebra penetra na geometria e nasce a “Geometria Analítica”.

Geometricamente, entendemos uma reta como a curva que conecta dois pontos percorrendo a distância mais curta possível.

Geometricamente, entendemos uma reta como a curva que conecta dois pontos percorrendo a distância mais curta possível. E analisando isso, em virtude do teorema de Tales, veremos que a cada incremento da coordenada $y$ corresponde um incremento da coordenada $x$ , tal que o quociente $m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x$ será sempre constante para qualquer par de pontos sobre a reta. Isso é o que chamamos de “inclinação da reta”.

Como a inclinação é a mesma para qualquer par de pontos da reta, então se considerarmos os pontos da reta com coordenadas $(x, y),$ $(x_0, y_0),$ $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2),$ podemos escrever:

$\displaystyle \frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

O que é o mesmo que dizer

$\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}$

É daqui que vem a conhecida equação da reta

$\color{red}{{y = m(x - x_0) + y_0}}$

Aqui, o par $(x_0, y_0)$ é um ponto fixo, enquanto o par $(x, y)$ é um ponto qualquer.

Exercícios de exemplo

Calcular a equação da reta que passa pelo ponto $(x_0, y_0) = (2, 3)$ com inclinação $m = 3/2$ [SOLUÇÃO]
Calcular a equação da reta que passa pelo ponto $(x_0, y_0) = (1, 8)$ com inclinação $m = 7/5$ [SOLUÇÃO]
Calcular a equação da reta que passa pelos pontos $(x_1, y_1) = (3, 5)$ e $(x_2, y_2) = (1, -2)$ [SOLUÇÃO]

Como desenhar a Equação da Reta

Já vimos como obter a equação da reta a partir de alguma informação gráfica; agora seguiremos o caminho inverso, obtendo a representação gráfica a partir da equação da reta.

No fim das contas, a equação da reta sempre termina sendo apresentada da seguinte forma.

$y = mx + b$

Onde $m = \Delta Y / \Delta x$ é a inclinação e $b$ é o coeficiente de posição. A partir disso, temos a seguinte figura

Exercício de Exemplo

Desenhar a reta da equação $y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2$ [SOLUÇÃO]
Desenhar a reta da equação $y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6$ [SOLUÇÃO]

Problemas de aplicação da equação da reta

A reta pode ser usada para resolver problemas que envolvem a relação direta entre duas magnitudes, como é o caso dos seguintes exemplos

Um veículo com posição inicial $x_0 = 12[m]$ move-se com uma velocidade de $v=0,3[m/s]$ . Qual será sua posição após $30[s]$ ? [SOLUÇÃO]
Uma pessoa vai à feira e compra $1[kg]$ de maçãs, gastando um total de $50 Z\$.$ Nesse mesmo dia, a pessoa voltou à feira para comprar outros $3[kg]$ de maçãs, gastando um total de $60 Z\$.$ . Qual é o preço das maçãs e o preço das passagens? [SOLUÇÃO]

Interseções entre Retas

Suponhamos que temos duas retas e queremos encontrar o ponto comum entre elas; isto é, encontrar a interseção entre retas. Para resolver este tipo de problema, devemos resolver um sistema de equações. Para entender isso melhor, vejamos o seguinte exemplo.

Consideremos as seguintes retas:

$L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1$

$L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9$

Onde essas duas retas se intersectam?

Para resolver isso, fazemos o seguinte raciocínio:

(1)	$y=\displaystyle \frac{3}{2}x + 1$	; Reta $L_1$
(2)	$y= \displaystyle -\frac{1}{3}x + 9$	; Reta $L_2$
(3)	$\displaystyle \frac{3}{2}x + 1 = -\frac{1}{3}x + 9$	; De (1) e (2)
	$\displaystyle \frac{3}{2}x = -\frac{1}{3}x + 8$	; Subtraindo 1 de ambos os lados
	$9x = -2x + 48$	; Multiplicando ambos os lados por 6
	$11x =48$	; Somando 2x a ambos os lados
	$\displaystyle x = \frac{48}{11}$	; Dividindo ambos os lados por 11
(4)	$\displaystyle y= \frac{3}{2}\cdot \frac{48}{11} + 1$	; De (1) e (3)
	$\displaystyle y= \frac{3}{1}\cdot \frac{24}{11} + \frac{11}{11}$
	$y= \displaystyle \frac{83}{11}$
(5)	$\displaystyle (x, y)= \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right)$	; De (3) e (4)

Portanto, o ponto de interseção entre as retas é $(x, y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).$

Exemplo de problemas de aplicação para interseção entre retas

Para uma festa, foram vendidos 600 ingressos com uma arrecadação total de $\$1.300.000.$ Os ingressos para jovens foram vendidos a $\$1.000,$ e os ingressos para adultos a $\$3.000.$ Quantos adultos e jovens foram à festa? [SOLUÇÃO]