Ahora iniciaremos nuestro estudio sobre la ecuación de la recta, los sistemas cartesianos y los principios de la geometría analítica.

Los principios de la Geometría Analítica

Cuando introducen los números reales, normalmente se dice que estos son puntos sobre una recta

A partir de esto, Descartes tuvo la genialidad de usar dos rectas para representar los puntos sobre un plano como un par de coordenadas (x,y)

La Ecuación de la recta

Utilizando estos conceptos, ahora es posible considerar un conjunto de puntos sobre el plano para formar curvas en el plano, donde a coordenada x le corresponde otra coordenada y, y ésta ley de correspondencia viene dada por una función. Es en este punto en donde el álgebra penetra en la geometría y nace la «Geometría Analítica».

Geométricamente entendemos una recta como la cuva que conecta dos puntos recorriendo la distancia más corta posible.

Geométricamente entendemos una recta como la cuva que conecta dos puntos recorriendo la distancia más corta posible. Y analizando esto, en virtud del teorema de Thales, veremos que a todo incremento de la corrdenada y le corresponderá un incremento de la coordenada x tal que el cociente m=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)=\Delta y / \Delta x siempre será constante para cualquier par de puntos sobre la recta. Esto es lo que llamamos «pendiente de la recta».

Como la pendiente es la misma para cualquier par de puntos de la recta, entonces si consideramos los puntos de la recta con coordenadas (x,y), (x_0,y_0), (x_1,y_1) y (x_2,y_2), podemos escribir:

\displaystyle \frac{y-y_0}{x - x_0} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Que es lo mismo que decir

\begin{matrix}y & = & \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_0 ) + y_0 \\ \\ & = & \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} (x - x_0) + y_0 \end{matrix}

De aquí es de donde viene la conocida ecuación de la recta

\color{red}{{y = m(x-x_0) + y_0}}

Aquí, el par (x_0,y_0) es un punto fijo, mientras que el par (x,y) es un punto cualquiera.

Ejercicios de ejemplo

1. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (x_0,y_0)=(2,3) con pendiente m=3/2 [SOLUCIÓN]
2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (x_0,y_0)=(1,8) con pendiente m=7/5 [SOLUCIÓN]
3. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x_1,y_1)=(3,5) y (x_2,y_2)=(1,-2) [SOLUCIÓN]

Cómo graficar la Ecuación de la Recta

Ya hemos visto cómo obtener la ecuación de la recta a partir de algo de información gráfica; ahora seguiremos el camino inverso, obtener la representación gráfica a partir de la ecuación de la recta.

Al final del día, la ecuación de la recta siempre termina presentandose de la siguiente manera.

y=mx + b

Donde m=\Delta Y / \Delta x es la pendiente y b es el coeficiente de posición. A partir de esto tenemos la siguiente figura

Ejercicio de Ejemplo

1. Graficar la recta de ecuación y=\displaystyle \frac{3}{4}x + 2 [SOLUCIÓN]
2. Graficar la recta de ecuación y=\displaystyle -\frac{2}{5}x + 6 [SOLUCIÓN]

Problemas de aplicación de la ecuación de la recta

La recta puede ser utilizada para resolver problemas que involucra la relación directa entre dos magnitudes, como es el caso de los siguientes ejemplos

1. Un vehiculo con posición inicial x_0 = 12[m] se mueve con rapidez v=0,3[m/s] ¿Cuál será su posición luego de 30[s]? [SOLUCIÓN]
2. Una persona va a la feria y compra 1[kg] de manzanas, gastando un total de 50 Z\$. Esa mismo día, la misma persona volvió a ir a la feria para comprar otros 3[kg] de manzanas, gastando un total de 60 Z\$.. ¿Cual es el precio de las manzanas y cuál es el precio de los pasajes? [SOLUCIÓN]

Interersecciones entre Rectas

Supongamos que tenemos dos rectas y queremos encontrar el punto que hay de común entre estas; esto es, encontrar la intersección entre rectas. Para resolver este tipo de problemas debemos resolver un sistema de ecuaciones. Para entender esto mejor, veamos el siguiente ejemplo.

Consideremos las siguientes rectas:

L_1 \; : \; y= \displaystyle \frac{3}{2}x + 1

L_1 \; : \; y=\displaystyle -\frac{1}{3}x + 9

¿Dónde se intersectan estas dos rectas?

Para resolver esto, hacemos el siguiente razonamiento:

Por lo tanto, el punto de intersección entre las rectas es (x,y)= \displaystyle \left(\frac{48}{11}, \frac{83}{11} \right).

Ejemplo de problemas de aplicación para la intersección entre rectas

Para una fiesta se vendieron un total de 600 entradas con una recaudación total de \$1.300.000. Las entradas para jóvenes se vendieron en \$1.000, y las entradas para adultos en \$3.000 ¿Cuántos adultos y jovenes fueron a la fiesta? [SOLUCIÓN]