المقدمة

تعلم تحليل كثير الحدود التربيعي هو الخطوة الأولى للبدء في دراسة العديد من تقنيات التحليل الأخرى. لهذا السبب سنراجع هذه التقنية بعمق ونوسع استخدامها قدر الإمكان. عند الانتهاء، ستتعلم ليس فقط تحليل كثير الحدود التربيعي (الدرجة 2) بل ستستخدم هذه التقنيات لتحليل أي كثير حدود (2n)-تربيعي.

كثير الحدود التربيعي وكثير الحدود (2n)-تربيعي

كثير الحدود التربيعي هو كثير الحدود من الدرجة الثانية. انطلاقًا من ذلك، نعلم أن كثير الحدود التربيعي هو أي دالة تأخذ الشكل التالي:

P(x) = ax^{2}+bx +c

بحيث a,b,c\in\mathbb{R} و a\neq 0. ولكن دراستنا لن تقتصر فقط على تحليل كثيرات الحدود بهذه الصيغة، بل سنستهدف صيغة معممة يكون فيها التربيعي مجرد حالة خاصة. نحن نتحدث عن كثير الحدود (2n)-التربيعي. هذه التعميم يشمل جميع كثيرات الحدود التي يمكن كتابتها بالشكل التالي:

P(x) = ax^{2n}+bx^n +c

حيث بالإضافة إلى الافتراض a,b,c\in\mathbb{R} و a\neq 0، نأخذ n\in\mathbb{N} أي عدد طبيعي. من أمثلة هذه النوعية من كثيرات الحدود:

• P(x) = 3x^2 -x + 1
• Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
• R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
• S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

وهكذا بشكل عام.

تحليل كثير الحدود التربيعي

كما رأينا سابقًا، فإن كثير الحدود من الدرجة الثانية له الصيغة العامة التالية:

P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0

التحليل هو العملية التي تفصل كثير الحدود المعقد إلى حاصل ضرب كثيرات حدود أبسط. لهذا، إذا كان من الممكن التحليل، فإنه توجد ثوابت \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R} بحيث \alpha, \gamma \neq 0 حيث:

\begin{array}{rl} P(x) &= ax^2 + bx + c \\ &= (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) \\ &= \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \dfrac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \dfrac{\delta}{\gamma}\right) \end{array}

حيث أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن، فإننا نعلم أنه عندما يصبح أحد الطرفين صفراً، يصبح الطرف الآخر بالضرورة صفراً أيضًا. الطرف الأيمن يصبح صفراً عندما x=-\beta/\alpha أو عندما x=-\delta/\gamma. دعونا نرى الآن القيم التي يصبح فيها الطرف الأيسر صفراً. سنجد أن:

\begin{array}{rl} ax^2 + bx + c &= 0 \\ ax^2 + bx & = -c \\ \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x &= - \dfrac{c}{a} \\ \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} & = \dfrac{b^2}{4a^2} -\dfrac{c}{a} = \dfrac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \dfrac{b^2 - 4ac }{4a^2} \\ \\ \left(x + \displaystyle \dfrac{b}{2a}\right)^2 &= \displaystyle \dfrac{b^2 - 4ac }{4a^2} \\ \\ x + \displaystyle \dfrac{b}{2a} & = \pm \sqrt{\displaystyle \dfrac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \dfrac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \\ \\ x & = \displaystyle \dfrac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \end{array}

استناداً إلى هذا الاستدلال، ستكون الثوابت في التحليل بحاجة إلى استيفاء الشروط التالية (بدون فقدان العمومية):

• \alpha\gamma = a
• \displaystyle \dfrac{\beta}{\alpha} = - \left(\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
• \displaystyle \dfrac{\delta}{\gamma} = - \left(\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)

وبهذا يكون لدينا تقنية تمكننا من تحليل أي كثير حدود من الدرجة الثانية، وإذا لم يكن بالإمكان التحليل، فستتم الإشارة إلى ذلك عبر العدد الموجود داخل الجذر: إذا كان هذا العدد سالباً، فلن يمكن التحليل (بالأعداد الحقيقية). يمكننا تبسيط كل هذا باستخدام الترميز التقليدي:

• x_1 =\displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
• x_2 =\displaystyle \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}

والتي تُختصر في الصيغة الشهيرة والمألوفة:

\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅

وبالتالي، ستكون الصيغة النهائية للتحليل كالتالي:

\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅

توسيع التحليل إلى كثير الحدود البي-تربيعي

يمكن استخدام هذه التقنية أيضًا لتحليل كثير الحدود البي-تربيعي على النحو التالي:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)

حيث x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. وبالتالي، يمكننا الآن كتابة:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)

في هذه المرحلة، يجب الحذر، حيث أن ما سيأتي له بعض القيود. إذا لم يكن x_1^2 عدداً موجباً، فيمكن استخدام طريقة الفرق بين المربعات للفصل (x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1)؛ خلاف ذلك، ستجد أعداداً مركبة ولن يكون بإمكانك الاستمرار في التحليل بالأعداد الحقيقية. إذا كانت الجذور كلها محددة بشكل جيد، فيمكنك كتابة:

\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\dfrac{-ب + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}

في خلاف ذلك، ستتوقف في الخطوة السابقة.

تعميم التحليل إلى كثير الحدود (2n)-تربيعي

مع هذا الفهم، يتم توجيه التقنية نحو تحليل كثير الحدود (2n)-تربيعي. ما عليك سوى إعادة صياغة الطريقة التي تتم كتابة الصيغة بها واستخدام الطرق السابقة حيث تكون الجذور محددة بشكل جيد. على هذا النحو، لدينا:

R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)

حيث x^n_{1,2} =\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. بعد ذلك، نقوم بالفصل باستخدام الفرق بين المربعات حيث لا تظهر أعداد مركبة.

تمارين أمثلة:

الآن دورك لتجربة هذه التقنيات مع بعض التمارين. كثيرات الحدود المذكورة أدناه تم اختيارها عشوائياً، مما يجعلك قادراً على التعرف على الصعوبات المحتملة التي قد تواجهها عند تحليل هذه الأشكال.

الجولة الأولى

هذه كثيرات الحدود التي تم استخدامها كمثال في بداية هذه المقالة:

1. P(x) = 3x^2 -x + 1
2. Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
3. R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
4. S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

الجولة الثانية

وهذه بعض الأمثلة الأخرى الأكثر صعوبة.

1. P(x) = 78x^2 -21x - 13
2. Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
3. R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
4. S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
5. T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15

حل التمارين