Factorisation du polynôme quadratique et 2n-quadratique
Résumé :
Dans ce cours, nous examinerons en détail le processus de factorisation des polynômes quadratiques P(x) = ax^2 + bx + c et des polynômes (2n)-quadratiques P(x) = ax^{2n} + bx^n + c, en les décomposant en facteurs simples. Les procédures seront développées mathématiquement et des exemples pratiques seront montrés.
Objectifs d’apprentissage
- Apprendre à factoriser des polynômes quadratiques de la forme P(x) = ax^2 + bx + c.
- Dériver et utiliser la formule quadratique x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} pour trouver les racines.
- Appliquer des techniques de factorisation aux polynômes (2n)-quadratiques de la forme P(x) = ax^{2n} + bx^n + c.
- Reconnaître les conditions nécessaires à la factorisation des polynômes quadratiques.
- Utiliser la méthode de complétion du carré dans le processus de factorisation.
TABLE DES MATIÈRES :
Introduction
Polynôme quadratique et polynôme (2n)-quadratique
Factorisation du polynôme quadratique
Extension à la factorisation du polynôme bi-quadratique
Exercices pratiques
Introduction
Apprendre à factoriser un polynôme quadratique est la première étape pour commencer à étudier de nombreuses autres techniques de factorisation. C’est pourquoi nous examinerons en profondeur cette technique et étendrons son utilisation aussi loin que possible. À la fin, vous aurez appris non seulement à factoriser un polynôme quadratique (de degré 2), mais aussi à utiliser ces mêmes techniques pour factoriser tout polynôme (2n)-quadratique.
Polynôme quadratique et polynôme (2n)-quadratique
Un polynôme quadratique est un polynôme de degré deux. Ainsi, un polynôme quadratique est toute fonction de la forme
P(x) = ax^{2}+bx +c
avec a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq 0. Notre étude ne se concentrera cependant pas uniquement sur la factorisation des polynômes de cette forme, mais nous viserons une forme généralisée dont le quadratique n’est qu’un cas particulier. Nous parlons du polynôme (2n)-quadratique. Cette généralisation englobe tous les polynômes qui peuvent être écrits sous la forme
P(x) = ax^{2n}+bx^n +c
où, en plus de supposer a,b,c\in\mathbb{R} et a\neq 0, on prend un n\in\mathbb{N} quelconque. Des exemples de ce type de polynôme incluent :
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
et ainsi de suite.
Factorisation du polynôme quadratique
Comme nous l’avons déjà vu, un polynôme de degré 2 a la forme générale
P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0
La factorisation est le processus qui consiste à décomposer un polynôme complexe en produit de deux polynômes plus simples. Ainsi, s’il est possible de factoriser, il existe des constantes \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R}, avec \alpha, \gamma \neq 0, telles que :
| P(x) = ax^2 + bx + c | = (\alpha x + \beta)(\gamma x + \delta) |
| = \alpha \gamma \left(x +\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}\right)\left(x + \frac{\delta}{\gamma}\right) |
Comme il y a une égalité entre le côté gauche et le côté droit, lorsque l’un des côtés est annulé, l’autre l’est également. Le côté droit s’annule lorsque x=-\beta/\alpha ou x=-\delta/\gamma. Voyons maintenant pour quelles valeurs le côté gauche de cette égalité s’annule. Nous aurons :
| ax^2 + bx + c | = 0 |
| ax^2 + bx | = -c |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x | = - \displaystyle \frac{c}{a} |
| x^2 + \displaystyle \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} | =\displaystyle \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} = \frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| \left(x + \displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2 | = \displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2} |
| x + \displaystyle \frac{b}{2a} | = \pm \sqrt{\displaystyle \frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} |
| x | = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} ✅ |
En nous basant sur ce raisonnement, les constantes de factorisation devront satisfaire les conditions suivantes (sans perte de généralité) :
- \alpha\gamma = a
- \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
- \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
Nous avons ainsi une technique qui permet de factoriser tout polynôme de degré 2. Si ce n’est pas possible, un signe négatif sous la racine (le discriminant) l’indiquera. Nous pouvons résumer cela en utilisant la notation suivante :
- x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
- x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
Ce qui se résume à la bonne vieille formule fiable :
\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅
Ainsi, la factorisation finale est :
\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅
Extension à la factorisation du polynôme bi-quadratique
Cette technique peut également être utilisée pour factoriser un polynôme bi-quadratique. Voici la méthode :
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)
Où x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. On peut donc écrire :
Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)
Si x_1^2 est un nombre positif, on peut utiliser la décomposition somme-produit pour séparer (x^2 - x_1^2) = (x-x_1)(x + x_1) ; sinon, on aura affaire à des nombres complexes, et la factorisation dans les nombres réels ne sera plus possible. Si toutes les racines sont bien définies, on peut écrire :
\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}
Sinon, vous devrez vous arrêter à l’étape précédente.
Généralisation à la factorisation du polynôme (2n)-quadratique
Avec cette technique, vous pouvez également factoriser un polynôme (2n)-quadratique. Il suffit de réécrire la forme et d’utiliser les méthodes précédentes lorsque les racines sont bien définies. Ainsi, nous aurons :
R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)
Où x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}. Ensuite, séparez avec somme-produit là où il n’y a pas de nombres complexes.
Exercices pratiques :
Maintenant, c’est à vous d’essayer ces techniques avec quelques exercices. Les polynômes ci-dessous ont été choisis au hasard pour que vous puissiez reconnaître les difficultés potentielles de la factorisation.
Premier Round
Ces polynômes sont ceux que j’ai donnés en exemple au début du post :
- P(x) = 3x^2 -x + 1
- Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
- R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
- S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9
Deuxième Round
Voici quelques autres exemples un peu plus difficiles :
- P(x) = 78x^2 -21x - 13
- Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
- R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
- S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
- T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15