परिचय

द्विघात बहुपद का कारककरण सीखना कई अन्य कारककरण तकनीकों का अध्ययन करने का प्रारंभिक कदम है। इसलिए, हम इस तकनीक का गहन अध्ययन करेंगे और इसका उपयोग जितना संभव हो सके, विस्तारित करेंगे। पाठ के अंत तक, आप न केवल द्विघात बहुपद (2-घात) का कारककरण करना सीखेंगे, बल्कि इन तकनीकों का उपयोग करके किसी भी (2n)-घात बहुपद का कारककरण भी कर सकेंगे।

द्विघात बहुपद और 2n-घात बहुपद

द्विघात बहुपद एक द्वितीय श्रेणी का बहुपद होता है। इससे हमें पता चलता है कि द्विघात बहुपद का कोई भी फ़ंक्शन P(x) = ax^{2}+bx +c के रूप में होता है।

जहाँ a,b,c\in\mathbb{R} और a\neq 0। हमारा अध्ययन केवल इन बहुपदों के कारककरण तक सीमित नहीं होगा, बल्कि हम सामान्यीकृत रूप पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जहाँ द्विघात बहुपद केवल एक विशेष मामला होगा। हम इसे (2n)-घात बहुपद कहते हैं। यह सामान्यीकरण उन सभी बहुपदों को कवर करता है जिन्हें निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

P(x) = ax^{2n}+bx^n +c

जहाँ a,b,c\in\mathbb{R} और a\neq 0 होते हैं, और हम किसी भी n\in\mathbb{N} को ले सकते हैं। इस प्रकार के बहुपदों के उदाहरण हैं:

• P(x) = 3x^2 -x + 1
• Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
• R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
• S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

और इसी प्रकार।

द्विघात बहुपद का कारककरण

जैसा कि हमने पहले देखा था, एक द्विघात बहुपद की सामान्य रूप

P(x) = ax^{2}+bx +c \;\; , \;\; a\neq 0

कारककरण वह प्रक्रिया है जो एक जटिल बहुपद को दो सरल बहुपदों के गुणनफल में विभाजित करती है। इसलिए, यदि कारककरण संभव है, तो ऐसी स्थिरांक \alpha,\beta,\gamma,\delta \in\mathbb{R} होती हैं, जहाँ \alpha, \gamma \neq 0 इस प्रकार हैं:

चूँकि बाएँ और दाएँ समान हैं, इसका मतलब है कि जब एक पक्ष शून्य होता है, तो दूसरा पक्ष भी अनिवार्य रूप से शून्य हो जाएगा। परिणामस्वरूप, दाएँ पक्ष का मान x=-\beta/\alpha या x=-\delta/\gamma पर शून्य होता है। अब हम यह देखेंगे कि बाएँ पक्ष कब शून्य होता है। हमें मिलेगा:

इस निष्कर्ष से, हमें कारककरण में प्रयुक्त ग्रीक अक्षरों द्वारा दर्शाए गए स्थिरांक निम्नलिखित स्थितियों को संतुष्ट करना चाहिए:

• \alpha\gamma = a
• \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} = - \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)
• \displaystyle \frac{\delta}{\gamma} = - \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \right)

और इस प्रकार हमारे पास एक तकनीक है जो किसी भी द्विघात बहुपद का कारककरण करने में सक्षम है, और यदि यह संभव नहीं है, तो यह आपको उस संख्या द्वारा सचेत करेगा जो जड़ के भीतर है: यदि वह संख्या नकारात्मक है, तो इसे कारककरण नहीं किया जा सकता (वास्तविक संख्याओं के साथ)। हम इस प्रक्रिया को संकेतन सम्मेलन के परिचय से सरल कर सकते हैं:

• x_1 =\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
• x_2 =\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}

इस प्रकार, इसे पुरानी और विश्वसनीय सूत्र में संक्षेपित किया जा सकता है:

\color{blue}{x_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}} ✅

अंततः, कारककरण निम्नलिखित रूप में होगा:

\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}✅

द्विघात-चतुर्घात बहुपद का कारककरण विस्तार

यह तकनीक द्विघात-चतुर्घात बहुपद के कारककरण के लिए भी उपयोग की जा सकती है, निम्नलिखित तरीके से:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2)

जहाँ x^2_{1,2} = \displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}। इस प्रकार, अब आप इसे इस रूप में लिख सकते हैं:

Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\left(x^2 - \displaystyle \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right) \left(x^2- \displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\right)

इस बिंदु पर सावधान रहें, क्योंकि अगला कदम इसकी सीमाओं के साथ आता है। यदि x_1^2 कोई सकारात्मक संख्या नहीं है, तो आप (x² – x₁²) को गुणांतर करके लिख सकते हैं; अन्यथा आपको जटिल संख्याओं का सामना करना पड़ेगा और आप वास्तविक संख्या क्षेत्र में कारककरण जारी नहीं रख पाएंगे। यदि सभी जड़ें स्पष्ट रूप से परिभाषित हैं, तो आप इसे इस रूप में लिख सकते हैं:

\begin{array}{rl} Q(x) &= ax^4 + bx^2 + c \\ \\ & = a \left(x -\displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x + \displaystyle \sqrt{\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \\ \\ & \left(x- \displaystyle \sqrt{\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \left(x+ \sqrt{\displaystyle \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\right) \end{array}

अन्यथा, आप पिछले चरण पर रुक जाएंगे।

2n-घात बहुपद का कारककरण विस्तार

इसके साथ, आप देख सकते हैं कि यह विधि 2n-घात बहुपद के कारककरण की ओर इंगित करती है, आपको इसे पुनः लिखने और जहाँ जड़ें स्पष्ट हों, वहाँ उपरोक्त विधियों को लागू करने की आवश्यकता होगी। इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:

R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n)

जहाँ x^n_{1,2} =\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}। इसके बाद, जहाँ जटिल संख्याएँ न हों, वहाँ आप इसे गुणांतर से अलग कर सकते हैं।

उदाहरण अभ्यास:

अब आपकी बारी है कि इन तकनीकों को कुछ अभ्यासों के साथ आज़माएँ। नीचे दिए गए बहुपद पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं, ताकि आप इनका कारककरण करते समय आने वाली संभावित कठिनाइयों को पहचान सकें।

पहला राउंड

ये वही बहुपद हैं जिन्हें मैंने इस पोस्ट की शुरुआत में उदाहरण के रूप में रखा था:

1. P(x) = 3x^2 -x + 1
2. Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3
3. R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2
4. S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9

दूसरा राउंड

और ये कुछ अन्य अधिक कठिन बहुपद हैं:

1. P(x) = 78x^2 -21x - 13
2. Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14
3. R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16
4. S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10
5. T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15

उदाहरणों का समाधान