Introduction

Les limites latérales apparaissent lorsque nous rencontrons des limites qui ne peuvent exister que de gauche ou de droite, mais pas des deux côtés. Les limites que nous avons étudiées jusqu’à présent sont précisément de ce dernier type : pour que la limite de la fonction f lorsque x\to x_0 existe, il est nécessaire que f soit bien définie de chaque côté de x_0; si ce n’est pas le cas, alors la définition de la limite ne fonctionnera pas. Comme ces types de situations sont fréquents, il est nécessaire de trouver un moyen de les traiter. Cela est résolu par une définition formelle.

Idée Intuitive des Limites Latérales et Bilatérales

Pour qu’une limite de fonction existe f, lorsque x\to x_0, il est nécessaire que la fonction soit bien définie de chaque côté de x_0. Si cela se produit, nous parlons d’une limite bilatérale. Et si cette limite donne le résultat L, alors il n’y aura aucun problème à écrire

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

Maintenant, imaginons que nous redéfinissions cette fonction de manière à ce que son domaine inclue uniquement des valeurs supérieures à x_0. Si nous faisons cela, nous remarquerons que la limite n’existe plus (car il existera des valeurs de x pour lesquelles cela n’aura pas de sens); cependant, graphiquement, nous pourrions encore dire que, lorsque x\to x_0, f(x) tend toujours vers L. L’idée intuitive que nous générons ici est celle d’une limite à droite, que nous représenterions par l’écriture

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

et de manière complètement analogue, nous aurons la limite à gauche

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

Enfin, la limite bilatérale existera tant que les limites latérales existent et sont égales

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)

Définition Formelle des Limites Latérales

Pour définir formellement les limites latérales, il suffit d’appliquer une petite modification à la définition originale de la limite.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Pour les limites à droite, la définition est la suivante :

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Pour les limites à gauche, elle sera :

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Conditions pour l’Algèbre des Limites

L’intérêt de ces définitions est qu’elles sont toutes deux contenues dans la définition habituelle de la limite, et cela est important car cela nous dispense de devoir prouver à nouveau toutes les propriétés que nous avons déjà prouvées pour les limites bilatérales. Toute l’algèbre des limites fonctionnera comme nous l’avons vu dans les cours précédents, tant que les limites impliquées sont de même nature (toutes deux à gauche, ou toutes deux à droite, jamais mélangées), dirigées vers le même point et existent à ce point.

Exercices Proposés et Résolus

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [SOLUTION]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [SOLUTION]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [SOLUTION]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [SOLUTION]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [SOLUTION]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h + 6}}{h} [SOLUTION]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [SOLUTION]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [SOLUTION]