परिचय

एकतरफा सीमाएँ तब प्रकट होती हैं जब हमें केवल बाएँ या दाएँ से ही सीमाएँ मिलती हैं, लेकिन दोनों तरफ से नहीं। जिन सीमाओं का हमने अब तक अध्ययन किया है, वे ठीक इस अंतिम प्रकार की हैं: जब f जब x\to x_0 का सीमा मौजूद होती है, यह आवश्यक है कि f x_0 के दोनों तरफ अच्छी तरह से परिभाषित हो; यदि ऐसा नहीं होता है, तो सीमा की परिभाषा काम नहीं करेगी। चूंकि ऐसी सीमाओं के मामले सामान्य होते हैं, इसलिए उनसे निपटने का एक तरीका ढूंढना आवश्यक है। यह एक औपचारिक परिभाषा के माध्यम से हल किया गया है।

एकतरफा और द्विपक्षीय सीमाओं की सहज अवधारणा

किसी फ़ंक्शन की सीमा f के अस्तित्व के लिए, जब x\to x_0, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन x_0 के दोनों ओर अच्छी तरह से परिभाषित हो। यदि ऐसा होता है, तो हम एक द्विपक्षीय सीमा के बारे में बात करते हैं। और अगर ऐसी सीमा का परिणाम L होता है, तो कोई समस्या नहीं होगी इसे इस प्रकार लिखने में:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

अब, कल्पना करें कि हम इस फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनःपरिभाषित करते हैं कि इसका डोमेन केवल x_0 से बड़े मानों को शामिल करता है। अगर हम ऐसा करते हैं, तो हम देखेंगे कि सीमा अस्तित्व में नहीं है (क्योंकि x के लिए कुछ मान होंगे जिनका कोई मतलब नहीं होगा); हालाँकि, ग्राफ़िकल रूप से हम अभी भी कह सकते हैं कि जब x\to x_0, f(x) अभी भी L की ओर बढ़ रहा है। यहाँ हम जिस सहज अवधारणा का निर्माण कर रहे हैं वह है दाएँ तरफ़ की सीमा, जिसे हम इस प्रकार लिख कर प्रदर्शित करते हैं:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

और पूरी तरह से समान तरीके से, हमें बाएँ तरफ़ की सीमा मिलेगी:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

अंततः, द्विपक्षीय सीमा तब मौजूद होगी जब एकतरफा सीमाएँ मौजूद होंगी और समान होंगी:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^-}f(x)

एकतरफा सीमाओं की औपचारिक परिभाषा

एकतरफा सीमाओं को औपचारिक रूप से परिभाषित करने के लिए मूल सीमा परिभाषा में एक छोटे संशोधन को लागू करना पर्याप्त है।

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

दाएँ तरफ़ की सीमाओं के लिए, परिभाषा इस प्रकार है:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

बाएँ तरफ़ की सीमाओं के लिए, यह इस प्रकार होगी:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

सीमाओं के बीजगणित के लिए शर्तें

इन परिभाषाओं का दिलचस्प पहलू यह है कि वे दोनों पारंपरिक सीमा परिभाषा में समाहित हैं, और यह महत्वपूर्ण है क्योंकि इससे हमें उन सभी गुणों को फिर से साबित करने की आवश्यकता नहीं होती जिन्हें हमने पहले ही द्विपक्षीय सीमाओं के लिए साबित किया है। जब तक सीमाएँ समान प्रकृति की हों (दोनों बाएँ से, या दोनों दाएँ से, कभी मिश्रित नहीं), समान बिंदु पर निर्देशित हों और उस बिंदु पर अस्तित्व में हों, तब तक सीमा बीजगणित वैसा ही काम करेगा जैसा हमने पहले की कक्षाओं में देखा है।

प्रस्तावित और हल किए गए अभ्यास

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [समाधान]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [समाधान]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [समाधान]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [समाधान]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [समाधान]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h + 6}}{h} [समाधान]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [समाधान]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [समाधान]