El Teorema del Sandwich para el Cálculo de Límites
Resumen:
Esta clase presenta el Teorema del Sandwich, una herramienta clave en cálculo para evaluar límites difíciles utilizando funciones más sencillas que acotan por arriba y por abajo. Se ofrece una explicación gráfica y una demostración formal, seguida de ejemplos prácticos. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo aplicar este teorema para calcular límites de manera más eficiente.
Objetivos de Aprendizaje:
Al completar esta clase, el estudiante será capaz de
- Comprender la utilidad del Teorema del Sandwich en el cálculo de límites.
- Identificar funciones que pueden acotar una función objetivo para aplicar el teorema.
- Aplicar el Teorema del Sandwich para calcular límites difíciles.
- Visualizar gráficamente el concepto del Teorema del Sandwich.
- Demostrar el Teorema del Sandwich de manera formal.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
Introducción
Idea Gráfica del Teorema del Sandwich
Demostración del Teorema del Sandwich
Ejemplos
Introducción
La utilidad del teorema del Sandwich radica en la facilidad que otorga al cálculo de algunos límites dificiles a través de otros mas sencillos. La razón del nombre es que, en lugar de calcular directamente el límite de una función cuando x\to x_0, se usa otro par de funciones, una acotando por arriba y la otra por abajo, y cuyo límite en x_0 coincide y es fácil de obtener. Como la función original está siempre entre las dos, esta queda como «el queso entre entre los dos trozos de pan».
Idea Gráfica del Teorema del Sandwich
La idea que sintetiza el teorema en realidad es bastante sencilla. Supongamos que queremos calcular cierto límite dificil
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
Lo que normalmente se hace es tomar todo nuestro conocimiento del álgebra de funciones para intentar simplificarlo hasta el punto en que lo podamos evaluar. Sin embargo, en ocasiones un enfoque distinto es mucho más eficiente. Supongamos que tenemos un intervalo cerrado I tal que x_0 \in I y además existen otras dos funciones m(x) y M(x) que satisfacen la relación
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
Y que además
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
Entonces se cumplirá que
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
Esto es lo que podemos ver en la siguiente imágen.
Demostración del Teorema del Sandwich
Para demostrar el teorema del Sandwich, seguiremos el siguiente razonamiento:
| (1) | x_0\in I; Premisa |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; Premisa |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; Premisa |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); Premisa |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); De(4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); de (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); de (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
Ejemplos
Utilizando el Teorema del Sandwich, podemos calcular el límite de funciones incluso cuando ni siquiera tenemos su expresión algebráica de forma explicita. A continuación un par de ejemplos de esto:
Un ejemplo de esto se da en las siguiente situacion:
- Si \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, cuando -1\leq x\leq 1. ¿Cuál es el valor de \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [SOLUCIÓN]
Otro uso práctico del teorema del Sandwich se da cuando el limite en si mismo no es evidente respecto a otros más sencillos que le acotan por arriba y por abajo, como es lo que se obtiene al calcular el siguiente caso:
- Calcular: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [SOLUCIÓN]