洛伦兹变换回顾

在狭义相对论中，绝对时间的概念被抛弃。取而代之的是，光速c在所有惯性参考系中都是恒定的。这个变化，加上相对性原理，导致了洛伦兹变换。这些变换连接了从两个不同惯性参考系观察到的事件的时空坐标。这个主题在狭义相对论中的洛伦兹变换课程中详细探讨。

考虑标准配置中的惯性参考系S和S^\prime，它们的轴和原点在t=t^\prime =0处重合，并且在t=t^\prime = 0从原点发射的光子，其在每个参考系中的时空坐标必须满足以下方程：

c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 - {y^\prime}^2 - {z^\prime}^2 = 0.

从这个方程和相对性原理可以推导出著名的洛伦兹变换：

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

其中\beta_{ss^\prime_x} =v_{ss^\prime_x}/c是S^\prime相对于S以速度v_{ss^\prime_x}运动时的速度提升，\gamma_{ss^\prime_x} = 1/\sqrt{1-\beta_{ss^\prime_x}^2}是相应的洛伦兹因子。在v_{ss^\prime_x} \ll c时，沿\hat{x}方向的洛伦兹变换简化为伽利略变换。

与伽利略变换类似，存在一种对称性使得计算逆变换变得简单，只需交换术语并考虑\beta_{ss^\prime_x} = -\beta_{s^\prime s_x}：

\begin{array}{rl} ct &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct^\prime + \beta_{ss^\prime_x} x^\prime),\\ x &= \gamma_{ss^\prime_x}(x^\prime + \beta_{ss^\prime_x} ct^\prime),\\ y &= y^\prime, \\ z &= z^\prime. \end{array}

闵可夫斯基时空

洛伦兹变换揭示了时空坐标之间内在的联系。这种关系在ct和x之间的对称性中尤为明显。考虑两个事件， A 和 B，其坐标分别为 (ct_A, x_A, y_A, z_A) 和 (ct_B, x_B, y_B, z_B)。在参考系S中，我们定义二次距离如下：

\begin{array}{rl} \Delta s^2 &= c^2(t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \\ \\ &= c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \end{array}

时空距离， \Delta s， 表示为 \Delta s = \sqrt{c^2\Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)}。这里， \Delta t 代表时间长度，\Delta r = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} 是空间长度。

闵可夫斯基时空，以这种时空距离 \Delta s 的概念为特征，是狭义相对论中的一个基本模型。它由赫尔曼·闵可夫斯基提出，与空间和时间坐标不同，它在洛伦兹变换下保持不变。

\Delta s = \Delta s^\prime

在这个模型中，空间和时间结合成一个四维连续体。不同于欧几里得几何，闵可夫斯基时空的几何是伪欧几里得几何，因为其空间分量有负号。然而，对于一个恒定的时间t，闵可夫斯基的空间几何仍然是欧几里得几何。

洛伦兹变换下空间、时间和时空长度的变化

如前所述，时空长度\Delta s在洛伦兹变换下是保持不变的，此外，时间和空间的长度分别在这些变换下会改变。接下来我们将一步步证明这些事实。

首先，我们回忆一下最初考虑的事件A和B及其相对于系统S的时空坐标：

• 事件 A： (ct_A,x_A, y_A, z_A)
• 事件 B： (ct_B,x_B, y_B, z_B)

对于这些推导，我们将在标准配置中使用系统S和S^\prime的洛伦兹变换，其中S^\prime以速度\vec{v}_{ss^\prime_x}= v_{ss^\prime_x} \hat{x} = \beta_{ss^\prime_x}c \hat{x}相对于S运动。

\begin{array}{rl} ct^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct - \beta_{ss^\prime_x} x), \\ x^\prime &= \gamma_{ss^\prime_x}(x - \beta_{ss^\prime_x} ct), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}

纯时间长度的推导

假设在参考系S中观察到的事件A和B只在时间上分离，就像钟表的滴答声。在这种情况下，滴答之间的时间间隔将如下计算：

c\Delta t = c(t_B - t_A)

另一方面，从S^\prime观察到的同一对事件的时间分离将是：

c\Delta t^\prime = c(t^\prime_B - t^\prime_A)

这些时间分离通过洛伦兹变换的关系如下：

\begin{array}{rl} c\Delta t^\prime &= c(t^\prime_B - t^\prime_A) \\ \\ &= ct^\prime_B - ct^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B) - \gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}c \Delta t - \gamma_{ss^\prime_x} \beta_{ss^\prime_x} \Delta x \end{array}

现在，由于事件A和B对于参考系S的观察者而言仅在时间上分离，我们有\Delta x = 0。因此：

\boxed{\Delta t^\prime = \gamma_{ss^\prime_x} \Delta t}

重要的是要注意：

\gamma_{ss^\prime_x} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2_{ss^\prime_x}}} \in [1, +\infin[

这是因为\beta^2_{ss^\prime_x} = \dfrac{v^2_{ss^\prime_x}}{c^2} \in [0,1[。

简而言之，如果参考系S中的观察者测量一个时间间隔\Delta t，就像钟表的滴答声，那么参考系S^\prime中的观察者将测量这个相同的时间间隔为\gamma_{ss^\prime_x} \Delta t，这是大于或等于\Delta t。这个效应被称为时间膨胀，表明在经历速度提升\beta_{ss^\prime_x}的惯性参考系之间，时间会延长。因此，时间的流逝对于所有惯性观察者来说不是相同的，证明时间长度在洛伦兹变换下是不变的。

纯空间长度的推导

假设事件A和B仅在空间上分离，就像尺子的两端。假设，空间参考系S中这把尺子沿着\hat{x}轴排列。那么，我们将有：

\Delta x = x_B - x_A

从S^\prime参考系来看，这个空间分离将是：

\Delta x^\prime = x^\prime_B - x^\prime_A

应用洛伦兹变换，我们可以建立两者之间的关系：

\begin{array}{rl} \Delta x^\prime &= x^\prime_B - x^\prime_A \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B) - \gamma_{ss^\prime}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A) \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime} \Delta x - \gamma_{ss^\prime}\beta_{ss^\prime_x} c \Delta t \end{array}

由于事件A和B对参考系S的观察者是同时发生的，我们推导出\Delta t = 0，因此：

\boxed{\Delta x^\prime = \gamma_{ss^\prime} \Delta x}

例如，如果我们在一辆火车车厢内（参考系S^\prime）放置了一把长度为l_0的尺子，该火车相对于我们（参考系S）运动，并且尺子与运动方向平行，则观察到的长度将是：

\begin{array}{rl} & l_0 = \gamma_{ss^\prime} l \\ \\ \equiv & l = \dfrac{l_0}{\gamma_{ss^\prime}} \leq l_0. \end{array}

这意味着我们将看到尺子的长度比实际长度短。这个现象被称为洛伦兹收缩，它表明空间间隔在洛伦兹变换下是不守恒的。

时空长度的推导

在分析了纯时间和纯空间长度的变换后，我们现在检查洛伦兹变换下时空长度的行为。我们回想一下，观察者S^\prime对于两个事件A和B观测到的时空长度表示如下：

\begin{array}{rl} \Delta s^\prime &= \sqrt{c^2\Delta t^{\prime 2} - (\Delta x^{\prime 2} + \Delta y^{\prime 2} + \Delta z^{\prime 2})} \\ \\ &= \sqrt{c^2 (t^{\prime 2}_B - t^{\prime 2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{\prime 2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right]} \end{array}

接下来，我们将看到在S^\prime参考系相对于S具有速度提升\beta_{ss^\prime_x}的情况下，应用洛伦兹变换后的时空长度的关系。

\color{black} \begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= (c^2 t^{\prime 2}_B - c^2 t^{2}_A) - \left[(x^{\prime 2}_B - x^{2}_A) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right] \\ \\ \\ &= \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)\right]^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \left( \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)\right]^2 - \left[\gamma_{ss^\prime_x}(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)\right]^2 \right) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \gamma_{ss^\prime_x}^2 (ct_B - \beta_{ss^\prime_x} x_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(ct_A - \beta_{ss^\prime_x} x_A)^2 + \cdots \\ \\ & \cdots -\left\{ \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_B - \beta_{ss^\prime_x} ct_B)^2 - \gamma_{ss^\prime_x}^2(x_A - \beta_{ss^\prime_x} ct_A)^2 + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_B^2 \color{black} - \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_B x_B} + \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_B^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 c^2 t_A^2\color{black} + 2 \cancel{\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} c t_A x_A} - \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2\beta_{ss^\prime_x}^2 x_A^2\color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green} \gamma_{ss^\prime_x}^2x_B^2 \color{black} + \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_B x_B} - \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_B^2 \color{black}+ \cdots \\ \\ & \cdots + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2x_A^2\color{black}- \cancel{2 \gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x} ct_A x_A} + \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 \beta_{ss^\prime_x}^2 c^2t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ &= \color{red}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_B^2\color{black} - \color{blue}\gamma_{ss^\prime_x}^2 (1- \beta_{ss^\prime_x}^2)c^2 t_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \color{green}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_B^2\color{black} + \color{purple}\gamma_{ss^\prime_x}^2(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)x_A^2 \color{black} + \cdots \\ \\ & \cdots - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ \\ \end{array}

最后，记住\gamma_{ss^\prime_x}^2 = 1/(1-\beta_{ss^\prime_x}^2)，我们得到以下结果：

\begin{array}{rl} \Delta s^{\prime 2} &= c^2 t_B^2 - c^2 t_A^2 - x_B^2 + x_A^2 - \left\{ (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 (t_B^2 - t_A^2) - \left\{ (x_B^2 - x_A^2) + (y^{2}_B - y^{2}_A) + (z^{2}_B - z^{2}_A) \right\} \\ \\ &= c^2 \Delta t^2 - (\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2) \\ \\ &= \Delta s^2 \end{array}

因此，我们证明了与纯时间和空间长度不同，时空长度在洛伦兹变换下保持不变。