1. Álgebra de Polinômios: Definições

Para entender a Álgebra de Polinômios, primeiro precisamos saber o que são polinômios. Os polinômios são funções algébricas. Se x é uma variável real, então dizemos que a função P(x) é um polinômio se puder ser escrita na forma:

\displaystyle P(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^i= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n,

onde n é um inteiro não negativo e todos os a_i, com i\in\{1,2,3,\cdots,n\}, são coeficientes reais. Se existe um k tal que a_k\neq 0 e, quando k\lt i, ocorre que a_i=0, então dizemos que tal valor de k é o grau do polinômio. Em outras palavras, o grau de um polinômio é a potência maior que acompanha um coeficiente diferente de zero.

2. Tipos de Polinômios

Os polinômios são classificados de acordo com seu grau; por isso, quando se menciona um polinômio, quase sempre se diz que é um polinômio de grau k, quando k é a maior potência de x que acompanha o coeficiente não nulo de tal polinômio.

2.1. Os Polinômios Constantes

É a família que engloba todos os polinômios de grau zero e o polinômio nulo. Dizemos que um polinômio é de grau zero, se puder ser escrito na forma P(x)=c, com c\neq 0. Por outro lado, o polinômio nulo é da forma P(x) = 0 e para este não se define um grau.

3. Álgebra de Polinômios: Operações

Os polinômios herdam todas as suas propriedades da álgebra dos números reais. São especialmente relevantes as propriedades distributivas e associativas.

3.1. Soma e Subtração

Se P e Q são dois polinômios de grau n e m, respectivamente, com

m=n+k e 0\leq k,

então terá que:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) \pm Q(x) &=\displaystyle \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \sum_{i=0}^m b_i x^i \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n a_i x^i \pm \left( \sum_{i=0}^n b_i x^i + \sum_{i=n+1}^{n+k} b_i x^i \right) \\ \\ &\displaystyle = \sum_{i=0}^n (a_i \pm b_i) x^i + \sum_{i=n+1}^m b_i x^i \end{array}

Ou seja, os coeficientes que acompanham as mesmas potências de x são somados ou subtraídos, conforme o caso.

EXEMPLO:
Se P(x) = 3+5x+2x^2 e Q(x) = 6x-3x^2 +23x^5, então:

P(x) + Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) + (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5+6)x + (2-3)x^2 + 23x^5 \\ = 3 + 11x - x^2 + 23x^5

P(x) - Q(x) = \cdots \\ = (3+5x+2x^2) - (6x-3x^2 +23x^5) \\ = 3 + (5-6)x + (2+3)x^2 - 23x^5 \\ = 3 - x + 5x^2 - 23x^5

3.2. Multiplicação

No mesmo contexto da soma e subtração de polinômios, o produto de polinômios será desenvolvido da seguinte forma:

Primeiro distinguimos a multiplicação por escalar. Se c \in \mathbb{R}, então temos:

\displaystyle c P(x) = c \sum_{i=0}^n a_i x^i =\sum_{i=0}^n c a_i x^i

E depois temos a multiplicação entre polinômios:

\begin{array}{rl} \displaystyle P(x) Q(x) &\displaystyle = \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) \left(\sum_{j=0}^m b_j x^j\right) \\ \\ &=\displaystyle \left[\sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right) b_j x^j\right] \\ \\ &=\displaystyle \sum_{j=0}^m \left( \sum_{i=0}^n a_ib_j x^{i+j} \right) \\ \\ &=\displaystyle \sum_{i,j=0}^{n,m} a_ib_j x^{i+j} \end{array}

Isto é o que resumiríamos através da expressão “a soma dos produtos de todos com todos”.

EXEMPLO:
Se P(x) = 4x+ 2x^2-x^4 e Q(x) = 5 - x + x^2-7x^3, então:

P(x)Q(x) =\cdots \\ {} \\= (4x+ 2x^2-x^4)(5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 4x(5 - x + x^2-7x^3) \\ + 2x^2 (5 - x + x^2-7x^3) \\ - x^4 (5 - x + x^2-7x^3) \\ {} \\ = 20x - 4x^2 + 4x^3 - 28x^4 \\ + 10x^2 - 2x^3 + 2x^4 - 14x^5 \\ -5x^4 + x^5 - x^6 + 7x^7 \\ {} \\ = 20x + 6x^2 + 2x^3 - 31x^4 - 13x^5 - x^6 + 7x^7

4. Fatoração e Divisão de Polinômios

Quando multiplicamos dois polinômios, o que fazemos é passar de dois polinômios simples para outro mais complicado (de maior grau). Quando fatoramos um polinômio seguimos o processo inverso: transformamos um polinômio complicado no produto de dois ou mais polinômios de menor grau.

Para fatorar um polinômio P(x), é necessário encontrar os valores de x que anulam o polinômio; se tais valores existirem, então o polinômio é fatorável. Falar de existência é acessível, mas falar de encontrá-los é uma história diferente. Revisaremos este tema com mais detalhe quando estudarmos as fatoraçãos dos polinômios quadráticos e (2n)quadráticos.

4.1. Produtos Notáveis

Existem, no entanto, casos em que a fatoração é obtida de um modo simples,
como o dos produtos notáveis. Alguns desses resultados são os seguintes:

x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

(x\pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

4.2. O Algoritmo da divisão

Assim como multiplicando inteiros obtemos números compostos e a divisão através do algoritmo da divisão nos permite fatorar quando o resto é zero, algo semelhante ocorre com os polinômios. Explicar o algoritmo da divisão “em texto” pode ser um pouco complicado, é muito mais fácil de entender vendo diretamente como se faz e em que casos o algoritmo conduz a uma fatoração. Para isso, revisaremos alguns exemplos.

EXEMPLO: Calcular P(x):Q(x) para os seguintes casos:

1. P(x)=2 x^3 + x^2 - 2 x - 1, Q(x)=x-1 [SOLUÇÃO]
2. P(x)=x^4+2x^3-x+1, Q(x)=x^2-4 [SOLUÇÃO]
3. P(x)=3 x^4 - 2 x^3 - x^2 - 4 x + 1, Q(x)=x^2+x+1 [SOLUÇÃO]
4. P(x)=x^7+5x^4+5x^2-3x+1, Q(x)=x^3-2x^2+1 [SOLUÇÃO]