Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidades
Resumo
Esta aula proporciona uma imersão profunda nos conceitos de variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade, pilares fundamentais da teoria das probabilidades e da análise estatística. A definição de uma variável aleatória como um número que depende do resultado de um experimento aleatório é introduzida. A função de distribuição de uma variável aleatória é abordada, destacando sua importância e suas propriedades essenciais. Finalmente, a relação entre variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade é analisada, explicando que duas variáveis podem ter a mesma distribuição sem serem a mesma variável aleatória.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:
Ao finalizar esta aula, o estudante será capaz de:
- Compreender o conceito de variáveis aleatórias: Os estudantes devem ser capazes de descrever e explicar o que são as variáveis aleatórias e como são definidas matematicamente.
- Compreender o conceito de distribuições de probabilidade: Os estudantes devem ser capazes de explicar o que são as distribuições de probabilidade e como são representadas.
- Descrever as propriedades das distribuições de probabilidade: Os estudantes devem ser capazes de reconhecer e explicar as propriedades chave das distribuições de probabilidade.
- Analisar a relação entre variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade: Os estudantes devem ser capazes de discutir como as variáveis aleatórias e as distribuições de probabilidade estão inter-relacionadas, e como duas variáveis podem ter a mesma distribuição sem serem a mesma variável aleatória.
- Demonstrar e aplicar as propriedades das distribuições de probabilidade em situações práticas: Os estudantes devem ser capazes de demonstrar matematicamente as propriedades das distribuições de probabilidade e aplicar essas propriedades em situações reais.
- Compreender o conceito de funções de distribuição: Os estudantes devem ser capazes de descrever o que é uma função de distribuição e como é usada para descrever uma variável aleatória.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
O que são variáveis aleatórias?
O que são distribuições de probabilidades?
Propriedades das distribuições de probabilidade
Relação entre variáveis aleatórias e distribuições de probabilidades
Um dos conceitos chave da teoria das probabilidades e da análise estatística são os de variáveis aleatórias e de distribuições de probabilidades. Embora a teoria que desenvolvemos até agora seja em certo sentido “completa”, a verdade é que no estado atual é bastante rudimentar; as variáveis aleatórias e as distribuições de probabilidade são, por assim dizer, conceitos que nos permitem “lubrificar nossa capacidade de trabalhar com probabilidades e fazer análise estatística”.
O que são variáveis aleatórias?
Para nos familiarizarmos com o conceito de variável aleatória, é útil começar com uma abordagem intuitiva: pode-se interpretar uma variável aleatória como “um número que depende do resultado de um experimento aleatório”. No entanto, para uma compreensão mais precisa, é essencial também explorar sua definição formal. Vamos ver esta definição:
Definição: Uma variável aleatória sobre um conjunto \mathcal{X} é uma função f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
O caso mais comum é quando \mathcal{X}= \mathbb{R}, e, a menos que se especifique o contrário, é o que assumiremos a partir de agora; ou seja, trabalharemos com variáveis aleatórias com valores reais. Geralmente, as variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas, como X,Y,Z, \cdots,, enquanto as constantes são denotadas por letras minúsculas. Para simplificar, nos referiremos às variáveis aleatórias simplesmente como “variáveis”.
Exemplo: Suponhamos que um dado de 6 faces seja lançado duas vezes. Então teremos: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} A partir disso, podemos definir as seguintes variáveis aleatórias:
|
O que são distribuições de probabilidades?
Definição: Uma função de distribuição (ou “FD”) de uma variável aleatória X é uma função F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} definida pela relação F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), ou de forma mais abreviada: P(X\leq x). |
Geralmente, o que interessa em uma variável aleatória não é tanto sua expressão explícita em um espaço amostral \Omega, mas sua função de distribuição. O subscrito X em F_X pode ser omitido se o contexto for claro e não houver ambiguidade. É comum usar a notação X\sim F para indicar que a variável aleatória X tem uma função de distribuição F.
Propriedades das distribuições de probabilidade
Se F é uma distribuição de probabilidades e a,b são quaisquer números reais, então as seguintes propriedades serão cumpridas:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), ou seja, “F é crescente”.
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 e \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| DEMONSTRAÇÃO (a) Sejam A e B os eventos \{X\leq a\} e \{X\leq b\} respectivamente, com a\lt b. Se tudo isso acontece, então teremos que A\subseteq B e, portanto, ocorrerá que \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) Da parte (a) temos que: Como P(B\setminus A)\geq 0, temos que: F(b) - F(a) \geq 0 o que é o mesmo que dizer F(a) \leq F(b) (c) Aqui usaremos o fato de que F é monótono crescente (provado em (b)) e limitado com valor máximo igual a “1” (porque a distribuição é definida em termos de probabilidade). Só isso já é suficiente para dizer que \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 Uma abordagem complementar nos permite fazer os seguintes cálculos com o mesmo resultado. Definimos o conjunto A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. A partir disso, é fácil verificar que, para qualquer n teremos A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega e, portanto, usando a propriedade de continuidade teremos: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) Ou seja: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} Por outro lado, para o limite em que x\to -\infty, temos o seguinte: Primeiro, definimos o conjunto B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. A partir disso, verifica-se que: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) A razão é semelhante à parte (c). Começamos definindo o conjunto \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} E a partir disso, temos que C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} Portanto, usando um resultado da propriedade de continuidade, temos: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) Este último caso é obtido a partir do resultado anterior. De fato, uma vez que já provamos \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) Podemos escrever \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
Relação entre variáveis aleatórias e distribuições de probabilidades
Diz-se que duas variáveis X e Y têm a mesma distribuição de probabilidade se (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
Duas variáveis X e Y definidas no mesmo espaço amostral \Omega podem ter a mesma distribuição, mas não por isso serem necessariamente a mesma variável aleatória. Por exemplo, se considerarmos o experimento de lançar uma moeda equilibrada de duas faces e X=1 corresponder a cara e X=0 corresponder a coroa, podemos definir a variável aleatória Y=1-X e teremos que P(X=1) = P(Y=1)=0.5, e que ambas têm a mesma distribuição, mas se calcularmos a probabilidade de que ambas tenham o mesmo valor teremos P(X=Y)=0