Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidades
Resumen
Esta clase proporciona una inmersión profunda en los conceptos de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, pilares fundamentales de la teoría de probabilidades y análisis estadístico. Se introduce la definición de una variable aleatoria como un número que depende del resultado de un experimento aleatorio. Se aborda la función de distribución de una variable aleatoria, destacando su importancia, así como sus propiedades esenciales. Finalmente, se analiza la relación entre las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad, explicando que dos variables pueden tener la misma distribución sin ser la misma variable aleatoria.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE:
Al finalizar esta clase, el estudiante será capaz de:
- Comprender el concepto de variables aleatorias: Los estudiantes deben ser capaces de describir y explicar qué son las variables aleatorias y cómo se definen matemáticamente.
- Comprender el concepto de distribuciones de probabilidad: Los estudiantes deben poder explicar qué son las distribuciones de probabilidad y cómo se representan.
- Describir las propiedades de las distribuciones de probabilidad: Los estudiantes deben ser capaces de reconocer y explicar las propiedades clave de las distribuciones de probabilidad.
- Analizar la relación entre las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad: Los estudiantes deben poder discutir cómo las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad están interrelacionadas, y cómo dos variables pueden tener la misma distribución sin ser la misma variable aleatoria.
- Demostrar y aplicar las propiedades de las distribuciones de probabilidad en situaciones prácticas: Los estudiantes deben poder demostrar matemáticamente las propiedades de las distribuciones de probabilidad y aplicar estas propiedades en situaciones reales.
- Comprender el concepto de funciones de distribución: Los estudiantes deben ser capaces de describir qué es una función de distribución y cómo se usa para describir una variable aleatoria.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
¿Qué son las variables aleatorias?
¿Qué son las distribuciones de probabilidades?
Propiedades de las distribuciones de probabilidad
Relación entre las variables aleatorias y distribuciones de probabilidades
Uno de los conceptos clave de la teoría de las probabilidades y el análisis estadístico son los de variables aleatorias y de distribuciones de probabilidades. Si bien, la teoría que hemos desarrollado hasta ahora es en cierto sentido «completa», la verdad es que en el estado actual es bastante rudimentaria; las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad son, por decirlo así, conceptos que nos permiten «aceitar nuestra capacidad para trabajar con las probabilidades y hacer análisis estadístico».
¿Qué son las variables aleatorias?
Para familiarizarnos con el concepto de variable aleatoria, resulta útil empezar con un enfoque intuitivo: se puede interpretar una variable aleatoria como «un número que depende del resultado de un experimento aleatorio». No obstante, para una comprensión más precisa, es esencial explorar también su definición formal. Veamos esta definición:
Definición: Una variable aleatoria sobre un conjunto \mathcal{X} es una función f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
El caso más común es cuando \mathcal{X}= \mathbb{R}, y, a menos que se especifique lo contrario, es lo que asumiremos a partir de ahora; es decir, trabajaremos con variables aleatorias con valores reales. Generalmente, las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas, como X,Y,Z, \cdots,, mientras que las constantes se denotan con letras minúsculas. Para simplificar, a las variables aleatorias se las referiremos simplemente como «variables».
Ejemplo: Supongamos que se lanza un dado de 6 caras dos veces. Entonces tendremos que: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} A partir de esto, podemos definir las siguientes variables aleatorias:
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¿Qué son las distribuciones de probabilidades?
Definición: Una función de distribución (o «FD») de una variable aleatoria X es una función F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} definida por la relación F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), o de manera más abreviada: P(X\leq x). |
Generalmente, lo que interesa de una variable aleatoria no es tanto su expresión explícita en un espacio muestral \Omega, sino su función de distribución. El subíndice X en F_X puede omitirse si el contexto es claro y no existe ambigüedad. Es común usar la notación X\sim F para indicar que la variable aleatoria X tiene una función de distribución F.
Propiedades de las distribuciones de probabilidad
Si F es una distribución de probabilidades y a,b son números reales cualesquiera, entonces se cumplirán las siguientes propiedades:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), es decir, «F es creciente».
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 y \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| DEMOSTRACIÓN (a) Sean A y B los eventos \{X\leq a\} y \{X\leq b\} respectivamente, con a\lt b. Si todo esto ocure, entonces se tendrá que A\subseteq B y por lo tanto ocurrirá que \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) De la parte (a) se tiene que: Como P(B\setminus A)\geq 0, entoncces se tiene que: F(b) - F(a) \geq 0 que es lo mismo que decir F(a) \leq F(b) (c) Aquí usaremos el hecho de que F es monónota creciente (probado en (b)) y acotada con valor máximo igual a «1» (porque la distribución se define en términos de la probabilidad). Sólo con esto es suficiente para decir que \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 Un enfoque complementario a esto nos permite hacer las siguientes cuentas con identico resultado. Definamos el conjunto A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. A partir de esto es fácil verificar que, para todo n ocurrirá A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega y por lo tanto, utilizando la propiedad de continuidad se tendrá: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) Es decir: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} Por contraparte, para el límite en que x\to -\infty, se tiene lo siguiente: Primero definamos el conjunto B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. A partir de esto se verifica que: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) Se razona de forma similar a la parte (c). Se parte definiendo el conjunto \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} Y a partir de esto se tiene que C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} Por lo tanto, utilizando un resultado de la propiedad de continuidad se tiene: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) Este último caso se obtiene a partir del resultado anterior. De hecho, dado que ya probamos \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) Podemos escribir \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
Relación entre las variables aleatorias y distribuciones de probabilidades
Se dice que dos variables X e Y tienen la misma distribucion de probabilidad si (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
Dos variables X e Y definidas sobre el mismo espacio muestral \Omega pueden tener la misma distribución ero no por eso son necesariamente la misma variable aleatoria. Por ejemplo, si consideramos el experimento de lanzar una moneda equilibrada de dos caras y X=1 corresponde a cara y X=0 corresponde a sello, se puede definir la variable aleatoria Y=1-X y se tendrá que P(X=1) = P(Y=1)=0.5, y que ambas tienen la misma distribución, pero si se calcula la probabilidad de que ambas tengan el mismo valor se tendrá P(X=Y)=0