Nouvelles considérations

Comme conséquence de ce qui a été vu dans La Propagation des Ondes Électromagnétiques dans le Vide, en relativité restreinte, il est postulé comme principe que la vitesse de la lumière c est la même pour tous les cadres inertiels. Mais cette supposition n’est pas sans conséquences, car elle implique les points suivants :

1. Il faut abandonner les transformations de Galilée comme moyen valable de transformer les observations d’un cadre inertiel dans un autre.
2. Il faut laisser derrière l’idée intuitive que le temps s’écoule de la même manière pour tous les référentiels inertiels.

C’est à travers ces considérations que sont obtenues les transformations de Lorentz, qui servent de correction et de généralisation aux transformations de Galilée, et qui fonctionnent également pour la théorie électromagnétique.

Dérivation des transformations de Lorentz

Récapitulation sur les transformations (linéaires) de coordonnées

Considérons deux cadres inertiels S et S^\prime en configuration standard telle que l’origine seconde se déplace avec une vitesse constante \vec{v}_0 = v_{x_0}\hat{x} par rapport à l’origine du premier. Ce que nous ferons ensuite est de démontrer que, si les coordonnées d’un événement vues depuis deux systèmes inertiels S et S^\prime sont liées par une transformation linéaire comme celle révisée dans Le principe de la Relativité (spécifiquement, cette expression) et si on accepte le fait que la lumière a la même vitesse depuis tous les cadres inertiels, alors la transformation de coordonnées correspond justement aux transformations de Lorentz que nous obtiendrons plus tard.

En principe, les coordonnées (t,x) d’un événement vu depuis S, et les coordonnées (t^\prime, x^\prime) du même événement vu depuis S^\prime qui se déplace avec une vitesse v_{v}=v_{x_0}\hat{x} relative à S, sont liées par une transformation linéaire telle que :

\begin{array}{llr} t^\prime &= At + Bx, & [1]\\ x^\prime &= Dt + Ex & [2] \end{array}

où A, B, C et D sont des constantes à déterminer et les coordonnées y et z ont été omises (sans perte de généralité) pour simplifier.

Introduction de la vitesse de la lumière comme constante universelle

Les constantes A, B, D et E peuvent être déterminées à partir de ces nouvelles considérations en invoquant des cas spéciaux. Tout d’abord, nous devons prendre en compte que la transformation des coordonnées exprimée par [1] et [2] doit toujours fonctionner, et par conséquent, elle doit fonctionner dans chacun des cas particuliers, qui sont énoncés ci-après pour étudier leur forme :

• Considérons l’événement se déplaçant à la vitesse de la lumière : Si cet événement a des coordonnées (t,x) vues depuis S et (t^\prime, x^\prime) vues depuis S^\prime, alors la relation suivante doit être satisfaite :

  \displaystyle\frac{x^2}{t^2} = c^2 = \frac{{x^\prime}^2}{{t^\prime}^2}.

  À partir de cela, on peut en déduire que

  c^2 t^2 - x^2 = c^2{t^\prime}^2 - {x^\prime}^2 = 0\;\;\; [3]

• Considérons l’événement se déplaçant avec le référentiel inertiel S^\prime :

  Si l’événement a les mêmes coordonnées que l’origine du référentiel inertiel S^\prime, alors on aura x=v_0 t et x^\prime =0. En conséquence, à partir de l’équation [2] on aura :

  \begin{array}{rl} & 0 = Dt + Ev_0 t \\ \equiv & D = -Ev_0\:\:\;[4] \end{array}

• Finalement, considérons l’événement restant avec l’origine du référentiel inertiel S :

  Dans ce cas, on aura x=0 et x^\prime = -v_0 t^\prime, de sorte qu’à partir de l’équation [2] on aura :

  \begin{array}{rl} &-v_0t^\prime = Dt\\ \equiv & t= \displaystyle -\frac{v_0}{D} t^\prime\;\;\;[5] \end{array}

  Ensuite, à partir de [1] et [5] on a :

  \begin{array}{rl} & t^\prime = A \left(\displaystyle -\frac{v_0}{D}\right) t^\prime + \underbrace{Bx}_{x=0} \\ \\ \equiv & \displaystyle \frac{-Av_0}{D} = 1 \\ \\ \equiv & D = -Av_0\;\;\;[6] \end{array}

Finalement, de [4] et [6] : A = E, de sorte que le système d’équations donné par [1] et [2] se réduit à

\begin{array}{rll} t^\prime &= At + Bx & [7]\\ \\ x^\prime &= A(x - v_{x_0} t) & [8] \end{array}

Le boost de vitesse et le facteur de Lorentz

Maintenant, en remplaçant [7] et [8] dans [3] on a :

\begin{array}{rl} & c^2 (At +Bx)^2 - A^2 (x - v_{x_0} t)^2 = c^2t^2 - x^2\\ \\ \equiv\; & \color{blue}{(c^2 A^2) t^2} + \color{red}{(2c^2 AB)xt} \color{black} + c^2 B^2 x^2 - A^2 x^2 + \color{red} {(2A^2v_{x_0})xt} \color{black}- \color{blue}{(A^2 v_{x_0}^2) t^2} \color{black}= \color{blue}{(c^2) t^2} \color{black}- x^2. \end{array}

à partir de ce qui est resté en bleu, on obtient

\begin{array}{rl} &c^2 A^2 - A^2 v_{x_0}^2 = c^2 \\ \\ \equiv\;& A^2 (c^2 - v_{x_0}^2) = c^2 \\ \\ \equiv\;& \displaystyle A^2 = \frac{c^2}{c^2 - v_{x_0}^2} = \frac{1}{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}} \\ \equiv\;& \displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_{x_0}^2}{c^2}}} \end{array}

Cela est généralement écrit en remplaçant A=\gamma_x (facteur de contraction de Lorentz) et \beta_x = v_{x_0}/c (boost de vitesse), prenant la forme :

\displaystyle A = \gamma_x = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta_x^2}},\;\;\;[9]

Et en remplaçant [9] dans [2] on obtient :

x^\prime = \gamma_x(x - \beta_x ct)

à partir de ce qui reste en rouge, on obtient

\begin{array}{rll} &2c^2 AB + 2A^2v_{x_{x_0}} = 0& \\ \\ \equiv\;& cB^2 + Av_{x_0} = 0 & \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{1}{c^2}Av_{x_0} = -\frac{\gamma_x v_{x_0}}{c^2}& \\ \\ \equiv\;& B=\displaystyle -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} & [10] \end{array}

ainsi, en remplaçant [9] et [10] dans [7] on obtient

\begin{array}{rl} &t^\prime =\displaystyle \gamma_x t -\frac{\gamma_x \beta_x}{c} \\ \\ \equiv\; &t^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( t -\frac{\beta_x x}{c}\right)\\ \\ \equiv\; &ct^\prime =\displaystyle \gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \end{array}

Synthèse des transformations de Lorentz

Finalement, la transformation linéaire qui modélise le changement de coordonnées entre les systèmes S et S^\prime est donnée par les expressions suivantes.

\begin{array}{rl}ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \end{array}

Ce système de transformations peut être exprimé de manière matricielle comme suit

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right)

Ceci est ce qu’on appelle les Transformations de Lorentz de la relativité restreinte

Les transformations de Lorentz convergent et généralisent les transformations de Galilée

La convergence des transformations de Lorentz vers celles de Galilée est observée en examinant ce qui se passe avec les transformations de Lorentz lorsque la vitesse entre les référentiels inertiels est bien inférieure à celle de la lumière. Lorsque cela se produit, on a :

|v_{x_0}| \ll c \longrightarrow \left\{\begin{matrix}\beta_x = \frac{v_{x_0}}{c} \approx 0 \\ \\ \gamma_x = \sqrt{1-\beta_x} \approx 1 \\ \\ \gamma_x \beta_x c = v_{x_0} \gamma_x \approx v_{x_0} \end{matrix}\right.

Ainsi :

\left(\begin{matrix}ct^\prime \\ x^\prime \\ y^\prime \\ z^\prime \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}\gamma_x & -\gamma_x\beta_x & 0 & 0 \\ -\gamma_x\beta_x & \gamma_x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \gamma_x ct -\gamma_x \beta_x x \\ -\gamma_x \beta_x c t + \gamma_x x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \approx \left(\begin{matrix} ct \\ -v_{x_0}t + x \\ y \\ z \end{matrix}\right)

c’est-à-dire :

\begin{array}{rl} t^\prime &\approx t \\ x^\prime &\approx x - v_{x_0}t \\ y^\prime &\approx y \\ z^\prime &\approx z \end{array}

ce qui correspond exactement aux transformations de Galilée. À travers cela, on corrobore que les transformations de Lorentz généralisent les transformations de Galilée pour des vitesses proches de celle de la lumière et convergent vers celles de Galilée lorsque les vitesses sont beaucoup plus faibles que la vitesse de la lumière