معادلات ماكسويل في الفراغ

للكهرومغناطيسية في الفضاء الفارغ بعض الخصائص التي تستحق الذكر. تأخذ معادلات ماكسويل التي تصف المجالات الكهربائية والمغناطيسية في الفراغ الشكل التالي

\begin{array}{rlr} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 & [1]\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 & [2]\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &\displaystyle = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} & [3]\\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &\displaystyle = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} & [4] \end{array}

من هذا يمكن التأكيد على أن أي تشويش في المجالات الكهربائية والمغناطيسية ينتشر كموجة في الفضاء الفارغ. كيف نعلم ذلك؟ لأنه عند تحليل هذه التعابير نحصل على معادلة موجة لكلا المجالين.

انتشار الموجات الكهرومغناطيسية

استنادًا إلى [4] و [5]، يتضح أن المجال الكهربائي يلبي العلاقة التالية:

\begin{array}{llr} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) &\\ &=\displaystyle -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{B}\right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}& [6] \end{array}

ثم، كما أن كل مجال متجه يلبي العلاقة:

\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A},\;\;\;[7]

استنادًا إلى [2, 6] و [7] يمكن كتابة:

\begin{array}{rll} &\displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{E}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{E} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{E} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} & \\ \equiv &\displaystyle \color{blue}{\nabla^2 \vec{E} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}} & [8] \end{array}

ما يظهر باللون الأزرق هو بالضبط معادلة انتشار الموجات للمجال الكهربائي.

وبطريقة مماثلة تمامًا يحدث للمجال المغناطيسي

\begin{array}{ll} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) &= \displaystyle \vec{\nabla} \times \left(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)\\ &=\displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla} \times \vec{E}\right) = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \left(- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \displaystyle \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \end{array}

وبعد ذلك

\begin{array}{rll} & \displaystyle \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabلا^2 \vec{B} = \vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \vec{B} \right) = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} &\\ \equiv &\color{blue}{\nabla^2 \vec{B} = \displaystyle \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}& [9] \end{array}

من هذا نقول إن المجالات الكهرومغناطيسية في الفراغ لها العديد من الأوضاع الممكنة، وأحد أسر هذه الأوضاع يأخذ شكل موجة كهرومغناطيسية تنتشر عبر الفضاء والزمن.

سرعة الضوء ثابتة عالمية

بكلمات أخرى، تنتشر الاضطرابات في المجالات الكهرومغناطيسية دائمًا بسرعة c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}\approx 3\cdot 10^8[m/s], وهي سرعة الضوء في الفراغ. من الناحية التجريبية، يُلاحظ أن هذه السرعة هي نفسها لجميع الإطارات المرجعية القصورية، وهو ما لا يتناسب مع ما كان سيُحصل عليه إذا تم تطبيق تحويلات جاليليو، كما هو موضح في تحويلات جاليليو وقيودها؛ لأنه وفقًا لهذه التحويلات، حتى هيكل الموجة نفسه يتغير عند الانتقال من إطار مرجعي قصوري إلى آخر. هذه النتائج هي المفتاح الرئيسي للتخلي عن تحويلات جاليليو، ممهدة الطريق لتحويلات لورنتز في النسبية الخاصة لأنه: يجب أن تحافظ تحويلة الإحداثيات المصاغة بشكل صحيح على قوانين الفيزياء لجميع المراقبين القصوريين.