Conheça o Espaço Amostral da Teoria das Probabilidades
Resumo
Nesta aula abordamos o conceito de Espaço de Probabilidades, uma estrutura matemática composta por um Espaço Amostral, Sigma-Álgebra e Medida de Probabilidade. O Espaço Amostral é examinado em detalhe, sendo entendido como a reunião de todos os estados possíveis de um processo aleatório. Por meio de exemplos práticos, ilustramos a construção de espaços amostrais discretos e contínuos, e explicamos como a partir deles são construídos os eventos mensuráveis e calculadas as medidas de probabilidade. Esta aula é fundamental para entender as bases da Teoria das Probabilidades e estabelecer as bases para sua aplicação em diferentes áreas.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM:
Ao completar esta aula, o estudante será capaz de:
- Compreender o conceito de Espaço de Probabilidades.
- Identificar os elementos que compõem o Espaço de Probabilidades.
- Diferenciar entre espaços amostrais discretos e contínuos.
- Construir espaços amostrais discretos e contínuos.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
O ESPAÇO DE PROBABILIDADES
EXEMPLOS DE ESPAÇOS AMOSTRAIS
ESPAÇOS AMOSTRAIS DISCRETOS E CONTÍNUOS
O espaço de probabilidades
A Teoria das Probabilidades é fundamentada a partir de um objeto chamado Espaço de Probabilidades. Esta é uma estrutura matemática que se compõe de: (i) um Espaço Amostral \Omega, (ii) uma Sigma-Álgebra \Sigma e (iii) uma Medida de Probabilidade P. Para construir o espaço de probabilidades, primeiro revisaremos o conceito de espaço amostral.
A reunião de todos os estados possíveis \omega de um processo aleatório forma um conjunto não-vazio \Omega que chamamos Espaço Amostral.
Exemplos de espaços amostrais
| EXEMPLO 1 |
| Se lançarmos uma moeda, então temos dois resultados possíveis: Cara (C) e Coroa (S). Portanto, o espaço amostral será \Omega_{1m}=\{C,S\} |
| EXEMPLO 2 |
| Se repetirmos o experimento anterior, mas agora com dois lançamentos, então teremos: \Omega_{2m}=\{(C,C);(C,S);(S,C);(S,S)\} Ou seja, todas as formas possíveis de ordenar caras e coroas em grupos de dois. |
| EXEMPLO 3 |
| O lançamento de um dado de 6 faces tem o seguinte espaço amostral: \Omega_{1d6}=\{1,2,3,4,5,6\} Ou seja, o número indicado em cada uma de suas faces. |
| EXEMPLO 4 |
| O tempo de vida de um aparelho elétrico (medido em horas) tem espaço amostral da forma \Omega_{ae}=\{t\in \mathbb{R} \;|\; t\geq 0\} Ou seja, o tempo de vida do aparelho é um número t contido no intervalo [0,+\infty[ |
Espaços Amostrais Discretos e Contínuos
A partir destes exemplos, podemos fazer uma distinção entre dois tipos de espaços amostrais, os discretos e os contínuos. Os espaços amostrais discretos são aqueles que, como nos três primeiros exemplos, são formados por conjuntos finitos, embora também possam ser infinitos e numeráveis (como qualquer subconjunto de \mathbb{N}). Por outro lado, os espaços amostrais contínuos são conjuntos infinitos e não-numeráveis; geralmente são representados através de subintervalos de \mathbb{R}.
A partir dos elementos do espaço amostral (os estados possíveis), constroem-se os eventos mensuráveis (objetos da sigma-álgebra) do espaço de probabilidades, e é sobre esses objetos que se calculam as medidas de probabilidade.