基础概念

为了开始我们对概率论的研究，我们首先需要探索确定性和非确定性过程之间的联系以及它们与概率和偶然性的关系。自然界中发生的过程被分类为两种互不相容的类型：要么是确定性的，要么是非确定性的。一个确定性过程是指，在给定的初始条件下，总是导致相同的结果。另一方面，一个过程在相同的初始条件下，可能产生多种可能的结果，被称为非确定性过程。这些可能的结果，无论是唯一的还是多个的，也被称为状态。同时，人们试图通过模型来理解这些过程，这些模型同样是确定性的或非确定性的。

在非确定性过程的背景下，概率研究应运而生。这是一门形式科学（如逻辑学），我们可以通过它来获取关于非确定性过程产生特定状态或状态集合的频率信息。

自然界中的确定性与非确定性过程

假设我们想要模拟投掷物体的过程。在一个受控环境中，牛顿力学告诉我们，对于每一个初始速度和位置，物体都会在一个确定的点落地，这代表了现实世界的一个确定性模型。然而，在现实生活中，完全受控的环境并不存在，我们将看到物体倾向于落在某个区域内，这意味着有多种可能的状态。

通常认为，我们对环境和初始条件的控制和测量的限制使我们无法确定一个系统的最终状态，这迫使我们处理多种状态和非确定性模型。随着过程复杂度的增加，对环境和初始条件的控制也变得更加困难。

概率与偶然性

偶然性是非确定性过程的固有特性。当某一组初始条件下，没有任何可能的状态似乎比其他状态更频繁出现时，这个过程被称为偶然的或随机的。最简单的例子是抛硬币。随着抛掷次数的增加，出现正面和反面的频率趋于相似。换句话说：

\displaystyle \lim_{N\to \infty} \dfrac{C}{N} = \lim_{N\to \infty} \dfrac{S}{N} = \dfrac{1}{2}

其中N是总抛掷次数，C和S分别是N次抛掷中出现正面和反面的次数。

这个数字是获得正面或反面的概率，其理解是通过分析结果均等可能的实验而获得的。这是确定性和非确定性过程及其与概率和偶然性关系的本质。