数字集初探：从自然数到复数
摘要：在本课中，我们将探索如何使用自然数作为构建其他数字集的基础，以解决某些操作限制。我们将从整数开始，它们使我们能够广泛地执行减法。然后，我们将进一步研究有理数，它们为我们提供了完整的除法工具。随后，我们将深入了解实数，以便能够处理 n-次方根，并提及如何引入复数以处理特定场景中的 n-次方根。通过这些发展，将理解每个新的数字集是如何出现的，以解决前一个集合中固有的问题。
学习目标:
在完成本课后，学生将能够：
- 识别自然数、整数和有理数的基本属性。
- 解释在从一个数字集过渡到另一个数字集时继承或修改的基本属性和操作。
- 比较不同数字集的属性以及它们之间的关系。
内容索引
简介
自然数的属性
从自然数过渡到整数
跃向有理数
实数和无理数
复数：实数的代数条款
简介
实数，以及我们在这课中将探讨的其他数字集，是通过扩展自然数来引入的。事实是，对于任何两个自然数，并不总是可以进行减法或除法运算，而这些扩展的目的是解决这个问题。
在本课中，我们将回顾自然数的运算和属性，在此基础上，我们将继续构建所有其他数字集，直到达到实数，并且更进一步。
自然数的属性
在处理自然数运算时，我们主要指的是加法和乘法，以及它们各自的逆运算。下面总结了这些属性：
假设 a,b,c\in\mathbb{N}, 我们验证了：
| 1. | a + b = b + a |
| 2. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b)\pm c (在减法的情况下，只有在定义明确的情况下才有效) |
| 3. | a\cdot b = b \cdot a |
| 4. | a\cdot(b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c |
| 5.\;\;\;\;\; | a\cdot b = a \leftrightarrow b=1 |
| 6. | \displaystyle \frac{a}{b}\in\mathbb{N} \leftrightarrow (\exists k\in\mathbb{N})(a=b\cdot k) |
| 7. | a\cdot(b+c)=a\cdot b + a \cdot c |
从自然数到整数的过渡
首先要注意的是，在求和的情况下： (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N})，而对于减法：(\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b)。当两个自然数 a 和 b 的减法没有意义时，即 a\leq b，问题出现了；为了解决这个问题，自然数被扩展到整数集，其中这种性质的减法得到了明确定义。我们用字母 \mathbb{Z} 表示这个新的整数集，它包括所有的自然数、它们的加法逆元和零。
\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}
整数继承了所有自然数的属性和操作，并在第二个属性上进行了扩展，引入了加法逆元和加法单位元的概念。
| 2*. | a \pm (b \pm c) = (a\pm b) \pm c |
| 8. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=0 \leftrightarrow b=-a) |
| 9. | (\forall a\in\mathbb{Z})(\exists ! b\in\mathbb{Z})(a+b=a \leftrightarrow b=0) |
元素 b=-a 是我们所说的 a 的加法逆元。
跳到有理数
在这一点上，唯一没有正确定义的操作是除法。 为了解决这个问题，我们将对整数集进行扩展，得到有理数集，由以下集合给出：
\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}
这样就获得了一个新的属性
| 10. | (\forall a \in \mathbb{Q}\setminus\{0\})(\exists ! b \in \mathbb{Q}) \left[(a\cdot b = 1) \leftrightarrow \left( b = \displaystyle \frac{1}{a} = a^{-1} \right)\right] |
| 每个非零的有理数都有一个乘法逆元。 a 的乘法逆元是 a^{-1} | |
对于这些数字、操作和属性，定义了新的操作及其属性。在这里，通过以下方式定义有理数 q 的 n-次幂：
q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;veces}; 其中 n\in\mathbb{N}
q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}
请注意，从这里开始，只要 q\neq 0，我们就可以说
q^0 = 1
此外，只要出现零除法，给定任意两个有理数 a,b 和两个整数 n,m，就会满足以下属性：
| 11. | a^n \cdot a^m = a^{n+m} |
| 12. | (a^n)^m = a^{n\cdot m} |
| 13. | (a\cdot b)^n = a^{n} \cdot a^{m} |
| 14. | \left(\displaystyle \frac{a}{a}\right)^n = \frac{a^n}{a^n} |
| 15. | \displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \frac{1}{a^{m-n}} |
实数和无理数
就像减法操作（加法的逆操作）和除法（乘法的逆操作）使得将自然数扩展到整数和有理数成为必要，以形成明确定义的操作，幂运算也是类似的。n-次方的逆运算是n-次方根。
根的定义
假设 n 是大于 1 的整数，而 p,q 是任意有理数，我们通过以下规则定义q的n-次方根：
| 16. | q=0 \rightarrow \sqrt[n]{q} = 0 |
| 17. | q \gt 0 \rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
| 18. | \left[ q \lt 0 \wedge n {\;是\;奇数} \right]\rightarrow \left[ \sqrt[n]{q} = p \leftrightarrow p^n = q \right] |
总的来说，q的n-次方根是一个数字p，使得p的n次方等于q。在这些情况下，当n=2时，我们简单地写\sqrt{q}，而不是写\sqrt[2]{q}。
无理数的出现
到了这一点，我们开始问自己，\mathbb{Q}中的所有元素的n-次方根是否都有明确定义？事实上，虽然不是很明显（与减法和除法相比），但确实存在没有有理n-次方根的有理数。为了说明这一点，只需检查以下示例：
\sqrt{2} 不是有理数。
证明
我们将通过反证法来证明这一点。
假设 \sqrt{2} 是有理数，也就是说，存在p,q\in\mathbb{Z}，其中q\neq 0, 使得 \sqrt{2}=p/q, 并且它已经被化简为不可约的形式。如果我们这样做，我们可以说
2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2
但是，这与p/q 以不可约形式书写的事实相矛盾（现在结果是(p/q)^2 可以被简化，其结果是2）。由于假设\sqrt{2} 是有理数产生了矛盾，所以它不能是有理数，我们因此说它是无理数。
扩展到实数
这些结果表明， 为了正确定义n-次方根，需要将有理数扩展到一个新的集合，这就是实数集，我们用\mathbb{R}表示，并包括有理数和无理数。
\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*
复数：实数的代数闭包
在这一点上，我们应该注意两件事：（1）当n 是偶数时，n-次方根是多值的；（2）如果我们尝试计算q\lt 0 的\sqrt[n]{q}，我们会发现这样的数字不能是实数。
首先，通过对点（17）进行轻微更改，定义主要根来解决这个问题，从而谈到根的定义，如下所示：
| 17*. | q\gt 0 \rightarrow \left[ 0\lt p=\sqrt[n]{q} \leftrightarrow p^n=q \right] |
第二个问题是通过将实数扩展到复数集\mathbb{C}来解决的，但这个构造将在以后讨论。