Вещественные числа, вместе с другими числовыми множествами, которые мы рассмотрим в этом уроке, вводятся путем расширения натуральных чисел. Случается так, что с двумя произвольными натуральными числами не всегда возможно провести операции вычитания или деления, и эти расширения призваны решить эту проблему.

В течение этого урока мы рассмотрим операции и свойства натуральных чисел, и на этой основе мы перейдем к созданию всех остальных числовых множеств, достигая вещественных чисел и дальше.

Свойства натуральных чисел

Рассматривая операции с натуральными числами, мы в основном имеем в виду сложение и умножение, вместе с их соответствующими обратными операциями. Ниже приведены эти свойства:

Поскольку a,b,c\in\mathbb{N}, утверждается, что:

Переход от натуральных чисел к целым

Первое, что следует отметить, — это то, что в случае сумм: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), в то время как для вычитания: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). Проблема возникает, когда вычитание двух натуральных чисел a и b не имеет смысла, если a\leq b; чтобы решить эту проблему, натуральные числа расширяются до множества целых чисел, где вычитания этого типа приобретают хорошо определенное значение. Мы обозначаем это новое множество целых чисел буквой \mathbb{Z}, и оно состоит из всех натуральных чисел, их аддитивных обратных и нуля.

\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}

Целые числа наследуют все свойства и операции натуральных чисел, с расширением на второе свойство, и вводятся понятия обратного и нейтрального аддитива.

Элемент b=-a — это то, что мы называем аддитивным обратным a.

Переход к рациональным числам

На этом этапе единственная операция, которая у нас еще не определена, — это деление. Чтобы решить эту проблему, мы расширим множество целых чисел до множества рациональных чисел, которое будет задано следующим множеством:

\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}

С этим приобретается новое свойство

С этими числами, операциями и свойствами определяются новые операции со своими свойствами. В них определяется n-ая степень рационального числа q через

q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;раз}; с n\in\mathbb{N}

q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}

Обратите внимание, что, начиная с этого, и всегда когда q\neq 0, мы можем сказать, что

q^0 = 1

Кроме того, всякий раз, когда появляются деления на ноль, данные два рациональных числа a,b , и два целых числа n,m будут выполняться следующие свойства:

Вещественные и Иррациональные числа

Так же как операции вычитания (обратные к сложению) и деления (обратные к умножению) сделали необходимым расширение натуральных чисел до целых и рациональных чисел соответственно, чтобы формировать хорошо определенные операции, аналогичным образом происходит с степенями. Обратная операция к n-ой степени является n-ой корнем.

Определение корня

Пусть n является целым числом больше 1 и p,q являются произвольными рациональными числами, определяется n-ый корень из q, который представляем с помощью следующих правил:

В итоге, n-ый корень из q является числом p, таким что, будучи возведенным в n, он возвращает вам число q. В этих случаях, когда n=2, вместо того чтобы писать \sqrt[2]{q}, мы пишем \sqrt{q} для простоты.

Появление иррациональных чисел

На этом этапе мы задаемся вопросом Хорошо ли определен n-ый корень для всех элементов \mathbb{Q}? Правда в том, что, хотя это и не так очевидно (по сравнению с тем, что мы видели с вычитанием и делением), есть рациональные числа, которые не имеют рационального n-ого корня. Чтобы увидеть это, достаточно рассмотреть следующий пример:

\sqrt{2} не является рациональным числом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Мы докажем это методом от противного.

Предположим, что \sqrt{2} является рациональным числом, то есть существуют p,q\in\mathbb{Z}, с q\neq 0, такие, что \sqrt{2}=p/q, и что кроме того, это было упрощено до несократимого вида. Если сделать это, тогда мы можем сказать, что

2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2

Но это противоречит тому факту, что p/q было записано в несократимой форме (теперь оказывается, что можно упростить (p/q)^2 и его результатом будет 2). Поскольку предположение, что \sqrt{2} является рациональным числом, приводит к противоречию, это не может быть рациональным числом, и, следовательно, мы говорим, что это иррациональное число.

Расширение до вещественных чисел

Эти результаты демонстрируют тот факт, что, чтобы правильно определить n-ый корень, необходимо расширить рациональные числа до нового множества, это множество вещественных чисел, которые мы обозначаем как \mathbb{R} и которые содержат как рациональные, так и иррациональные числа

\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*

Комплексные числа: Алгебраическое дополнение вещественных чисел

На этом этапе мы должны отметить две вещи: (1) когда n четное, n-ый корень становится многозначным и, (2) если к тому же пытаться вычислить \sqrt[n]{q} с q\lt 0, мы увидим, что такое число не может быть вещественным числом.

Первая проблема решается путем определения главного корня, внося небольшое изменение в пункт (17), касающийся определения корня, которое теперь выглядит следующим образом:

Вторая проблема решается путем расширения множества вещественных чисел до множества комплексных чисел \mathbb{C}, но это строение останется для будущего.