Les nombres réels, ainsi que d’autres ensembles numériques que nous explorerons dans cette classe, sont introduits par l’expansion des nombres naturels. Il se trouve qu’avec deux nombres naturels quelconques, il n’est pas toujours possible d’effectuer des opérations de soustraction ou de division, et ces expansions visent à résoudre ce problème.

Pendant cette classe, nous réviserons les opérations et propriétés des nombres naturels, et sur cette base, nous progresserons vers la construction de tous les autres ensembles numériques, jusqu’à atteindre les nombres réels et au-delà.

Propriétés des Nombres Naturels

En abordant les opérations avec des nombres naturels, nous faisons principalement référence à l’addition et à la multiplication, ainsi qu’à leurs opérations inverses respectives. Ci-dessous, ces propriétés sont résumées :

Étant donné que a,b,c\in\mathbb{N}, il est vérifié que :

Transition des Nombres Naturels aux Entiers

Le premier aspect à noter est que dans le cas des sommes : (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), tandis que pour les soustractions : (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). Un problème se pose lorsque la soustraction entre deux nombres naturels a et b n’a pas de sens si a\leq b ; pour remédier à cette situation, les nombres naturels sont étendus à l’ensemble des nombres entiers, où les soustractions de cette nature acquièrent une valeur bien définie. Nous dénotons ce nouveau ensemble des nombres entiers par la lettre \mathbb{Z}, et il se compose de tous les nombres naturels, de leurs inverses additifs et du zéro.

\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}

Les nombres entiers héritent de toutes les propriétés et opérations des nombres naturels, avec une extension sur la deuxième propriété, et les notions d’inverse et de neutre additif sont introduites.

L’élément b=-a est ce que nous appelons l’inverse additif de a.

Le Saut aux Nombres Rationnels

À ce stade, la seule opération qui reste à définir correctement est la division. Pour résoudre cela, nous ferons une extension de l’ensemble des nombres entiers à l’ensemble des nombres rationnels, qui sera donné par l’ensemble suivant :

\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}

Cela acquiert une nouvelle propriété

Avec ces nombres, opérations et propriétés, de nouvelles opérations avec leurs propriétés sont définies. Dans ceux-ci est définie la puissance n-ième d’un rationnel q à travers

q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;fois}; avec n\in\mathbb{N}

q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}

Remarquons que, à partir de cela, et à condition que q\neq 0, nous pouvons dire que

q^0 = 1

De plus, chaque fois que des divisions par zéro apparaissent, étant donnés deux rationnels quelconques a,b , et deux entiers n,m les propriétés suivantes seront remplies :

Nombres Réels et Irrationnels

Tout comme l’opération de soustraction (inverse de l’addition) et la division (inverse du produit) ont rendu nécessaire l’expansion des naturels aux entiers et rationnels, respectivement, pour former des opérations bien définies, il en va de même pour les puissances. L’opération inverse de la n-ième puissance est la racine n-ième.

Définition de Racine

Soit n un entier supérieur à 1 et p,q des nombres rationnels quelconques, on définit la racine n-ième de q, que nous représentons à travers les règles suivantes :

En résumé, la n-ième racine de q est un nombre p tel que, lorsqu’il est élevé à la puissance n, il vous redonne le nombre q. Dans ces cas, lorsque n=2, au lieu d’écrire \sqrt[2]{q}, nous écrivons simplement \sqrt{q}.

L’Apparition des Nombres Irrationnels

Arrivés à ce point, nous nous demandons la racine n-ième sera-t-elle bien définie pour tous les éléments de \mathbb{Q} ? La vérité, c’est que bien que ce ne soit pas si évident (comparé à ce qui a été vu avec la soustraction et la division), il existe des rationnels qui n’ont pas de racine n-ième rationnelle. Pour voir cela, il suffit de revoir l’exemple suivant :

\sqrt{2} n’est pas un nombre rationnel.

DÉMONSTRATION

Nous prouverons ceci par réduction à l’absurde.

Supposons que \sqrt{2} est un nombre rationnel, c’est-à-dire qu’il existe des p,q\in\mathbb{Z}, avec q\neq 0, tels que \sqrt{2}=p/q, et que de plus il a été simplifié jusqu’à être irréductible. Si nous le faisons alors nous pouvons dire que

2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2

Mais ceci entre en contradiction avec le fait que p/q était écrit sous forme irréductible (maintenant il s’avère que l’on peut simplifier (p/q)^2 et son résultat est 2). Comme supposer que \sqrt{2} est rationnel produit une contradiction, alors celui-ci ne peut pas être un nombre rationnel et nous disons, en conséquence, qu’il est irrationnel.

L’Expansion aux Nombres Réels

Ces résultats mettent en évidence le fait que, pour définir correctement la n-ième racine, il est nécessaire d’élargir les rationnels à un nouvel ensemble, c’est l’ensemble des nombres réels, que nous dénotons par \mathbb{R} et qui contient à la fois les rationnels et les irrationnels

\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*

Les Complexes : La Clause Algébrique des Nombres Réels

À ce stade, nous devons noter deux choses : (1) quand n est pair, la racine n-ième devient multivariée et, (2) si en plus nous essayons de calculer \sqrt[n]{q} avec q\lt 0, nous verrons que ce nombre ne peut pas être un nombre réel.

Le premier est résolu en définissant la racine principale en appliquant un léger changement sur le point (17) qui parle de la définition de la racine, en restant de la manière suivante :

Le second est atteint en élargissant l’ensemble des réels à l’ensemble des nombres complexes \mathbb{C}, mais cette construction sera pour plus tard.